探究型问题
中考考点精讲
考点一：条件探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．
例1 （新疆）如图，?ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
对应训练 1．（襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形． （1）连结BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为 度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．
当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并证明．
1
考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论． 例3 （盐城）如图①，A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）
2
对应训练
2．在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B， 以OA、OB为边构造矩形AOBC．
（1）如图1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC是正方形； （2）如图2，当点A的横坐标为
时，求点B的坐标；
考点三：规律探究型：
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题， 例3 （上海）观察方程①：x+2x12=3，方程②：x+=5，方程③：x+=7． x6x（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ； （2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ； （3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ． 对应训练 3．（广州）如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1）， 第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0）， 第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是 ．
3
考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目． 例4如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F， （1） FC的值为 ；（2）求证：AE=EP； EF（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
对应训练
4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线， P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足． （1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式； （2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
4
四、中考真题演练 一、选择题 1．（永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
2．（安顺）如图， AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 3．（湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 二、填空题 4．（娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
5．（白银）如图，BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ． 6．（上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件， 使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 7．（黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件:________ ， 使得平行四边形ABCD为菱形． 8．（北京）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处． 第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1； 第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2； 第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3； 第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；… 依此规律进行，点A6的坐标为 ；若点An的坐标为（2013，2012），则n= ． 9．（湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位， 则顶点A3的坐标是 ，A92的坐标是 ．
10．（绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A， 则∠A的度数是 ．
5