???n0?BC?0??3x0?y0?0得到 ,?????n0?BF?0??y0?3z0?0令y0?3时n0?(?1,3,1)
设DF与n0所成角为?，直线DE与面BCEF所成角为?.
31)?(?1)??3?3?1|15|n?DE|22sin?=|cos?|=0==
5|n0|?|DE|?32122222(?1)?(3)?(1)?()?()?(3)22|(?直线EF与平面BCEF所成角的正弦值为
15.----------------------------------------13分 518.设函数f(x)?xlnx.
（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求证：f(x)?x?1；
（Ⅲ）若f(x)?ax2?(a?0)在区间(0,??)上恒成立，求a的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为k f?(x)?lnx?1
k?f?(1)?ln1?1?1
因为f(1)?1?ln1?0，切点为(1,0). 切线方程为
y?0?1?(x?1)2a，化简得：
y?x?1.----------------------------4分
（Ⅱ）要证：f(x)?x?1
只需证明：g(x)?xlnx?x?1?0在(0,??)恒成立， g?(x)?lnx?1?1?lnx
当x?(0,1)时f?(x)?0，f(x)在(0,1)上单调递减； 当x?(1,??)时f?(x)?0，f(x)在(1,??)上单调递增；
当x?1时g(x)min?g(1)?1?ln1?1?1?0
g(x)?xlnx?x?1?0在(0,??)恒成立
所
f(??以
.--------------------------------------------------------------------------x10分
2（Ⅲ）要使：xlnx?ax?
2在区间在(0,??)恒成立， a2 等价于：lnx?ax?在(0,??)恒成立，
ax2 等价于：h(x)?lnx?ax??0在(0,??)恒成立
ax1222212?ax?ax?2?a(x?)(x?)= 因为h?(x)?x?a?ax2=aaax22ax2①当a?0时，h(1)?ln1?a?a?0，a?0不满足题意
12②当a?0时，令h'(x)?0，则x??a或x?a（舍）. 所以x?(0,?1)时h?(x)?0，h(x)在(0,?1)上单调递减；
aa11x?(?,??)时h?(x)?0，h(x)在(?,??)上单调递增；
aa111当x??a时h(x)min?h(?a)?ln(?a)?1?2
1当ln(?a)?3?0时，满足题意
所以?e3?a?0，得到
a的最小值为
?e3-----------------------------------14分
x2y2319. 解：（Ⅰ）因为2?2?1(a?b?0)的离心率为，短半轴长为1.
ab2?b?1?a?2?3??c,得到?b?1, 所以?a?2??222?c?3?a?b?c?所以椭圆的方程为
x2+y2=1.-----------------------------------------------------------3分 4（Ⅱ）① 设P(x0,y0)，A(0,1),B(0,?1) 所以直线PA的方程为：y?1?令x?4，得到yM?|MN?||2?8 |x04|(?2?x0?0) x0Cy0?1x x04(y0?1)4(y0?1)?1同理得到yN??1，得到x0x0所以，圆C半径r?|1?当
x0??2时，圆半径的最小值为3.
--------------------------------------9分
② 当P在左端点时，圆C的方程为：(x-4)2+y2=9 当P在右端点时，设P(2,0)，A(0,1),B(0,?1) 所以直线PA的方程为：y?1??1x 2令x?4，得到yM??1同理得到yN?1， 圆C的方程为：(x-4)2+y2=1， 易知与定圆(x-2)2+y2=1相切, 半径R=1
4?1?,?2?x0?0?4?x0r?|1?|?? 由前一问知圆C的半径
x0?4?1,0?x0?2??x0因为yM?4(y0?1)4(y0?1)4y?1，yN??1，圆C的圆心坐标为(4,0) x0x0x0
?4?,?2?x0?0x?04y024?x016(1?)2?d?(4?2)?()=4? 圆心距?4=4|x|x00?,0?x0?2x02??x02当-2?x00时，d=r-R=(1-44)-1=- ，此时定圆与圆C内切；x0x0当0 (注: 存在另一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切，该定圆的圆心为 (6,0)和半径 R?1.得分相同) ------------------------------------------------------------------------------------14分 20..解：（Ⅰ）a4?2,a5?1；-----------------------------------------------------2分 1k?N*)，假设ak?1?m（Ⅱ）ak?（ ①当m?1时，依题意有 ak?2?ak?3????????1 ②当m?1时，依题意有ak?2?m，ak?3?1 ③当m?1时，依题意有ak?2?ak?6?1 *a?（1k?N)，在无穷数列{an}中，第k项后总存k由以上过程可知：若 1111，ak?3?2，ak?4?，ak?5?， mmmm在数值为1 的项，以此类推，数列{an}中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分 （Ⅲ）证明：由条件可知an?1(n?1,2,3,)， ). （n?1,2,3,因为{an}中任何一项不等于1，所以an?an+1①若a2n?1?a2n，则bn?a2n?1. 因为a2n+1=a2n?1，所以a2n?1?a2n+1. a2n 若a2n?21?1，则a2n+2?a2n?21?a2n?1，于是a2n-1?a2n+2； a2na2na2n?1a2na2n2a若2?1，则a2n+2?a??2n?a2n?a2n?a2n?1，于是a2n-1?a2n+2； a2na2n?1a2n?12n?1a2n若a2n?21?1，则a2n+2?1，于题意不符； a2n所以a2n?1?max{a2n+1,a2n+2}，即bn?bn?1. ②若a2n?1?a2n，则bn?a2n. 因为a2n+1= 因为a2n+2=a2na2n-1a2na2n+1，所以a2n?a2n+1； ，所以a2n?a2n+2； 所以a2n?max{a2n+1,a2n+2}，即bn?bn?1. 综上所述，对于一切正整数n，总有bn?bn?1，所以数列{bn}是单调递减 数列. -------------------------------------------------------------------------------13分