2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题
7.A 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),
∴g(x)
11
∴|x-y|+??+y2=|x-y|+ ?? +|y2|≥
1
1
1
??-??
1
+??+??2
=
12 ??-2
+ ??+?? -4 ≥ 2-4 =4.
1117
当且仅当y=2,x=??,即x=1,y=2时取等号.故选A.
9.C 画出满足条件的平面区域,如图所示. ??=3,解得A(3,4), 由
??-??+1=0,
令z=ax+y,因为z的最大值为10,
所以直线在y轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10),
所以z=ax+y与可行域有交点,当a>0时,直线经过A时z取得最大值. 即ax+y=10,将A(3,4)代入得 3a+4=10,解得a=2. 当a≤0时,
直线经过A时z取得最大值. 即ax+y=10,将A(3,4)代入得
3a+4=10,解得a=2.与a≤0矛盾,综上a=2.
10.D (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,
则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1. 而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立; 选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1. 而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;
选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1. 而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D. 11.8 (1,+∞) ∵正实数x,y满足x+2y-xy=0,
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11??+2??2
∴x+2y=2×2xy≤2× 2 ,化为(x+2y)(x+2y-8)≥0,解得
x+2y≥8,当且仅当
2??
>0, ??-1
y=2,x=4时取等号.则x+2y的最小值为8.由正实数x,y满足x+2y-xy=0,∴x=
∴y(y-1)>0,解得y>1.∴y的取值范围是(1,+∞). ??≥??,
12.24 8 由约束条件 ??+??>4,作出可行域如图,
??-2??+8>0
由z=2x+y,得y=-2x+z,由图可知,当直线y=-2x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大,
??=??,
可得 ??=8,所以A点坐标为(8,8). 由
??=8,??-2??+8=0z最大值为2×8+8=24.
x2+y2的最小值是可行域的点B到原点距离的平方, 由
??+??=4,可得B(2,2).可得22+22=8.
??=??
13. 3 3 不等式组表示的可行域是以B(-2,0),O(0,0),C(1, 3)为顶点的三角形区域(含边界)图略,其面积为2×2× 3= 3.
设向量 ????与 ????的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°. 又
3 ????·????
1
| ????|
????·????
=| ????|cosθ,要使 取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cos??≤
|????|
3 ,1≤|????|≤2,且cosθ取到最大值时,| ????|也取到最大值2,
22故
????·????
| ????|
的最大值为2×2= 3.
314.(-∞,4) (-∞,-4) 由||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.
(1)若不等式有解,则a<4;
(2)若不等式的解集为R,则a<-4.
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-3??+2??-1,??
15.-6或4 ∵函数f(x)=|x+1|+2|x-a|,故当a<-1时,f(x)= ??-2??-1,??≤??<-1,
3??-2??+1,??≥-1,
根据它的最小值为f(a)=-3a+2a-1=5,求得a=-6. 当a=-1时,f(x)=3|x+1|,它的最小值为0,不满足条件. -3??+2??-1,??<-1,
当a≥-1时,f(x)= -??+2??+1,-1≤??
3??-2??+1,??≥??,
根据它的最小值为f(a)=a+1=5,求得a=4. 综上可得,a=-6或a=4. 16.4 因为a,b∈R,且
??4+4??+1
ab>0,所以????
4
≥
4??2??+11
=4ab+????????
1
2
≥2 4????·=4.前一
????
1
个等号成立条件是a2=2b2,后一个等号成立的条件是ab=2,两个等号可以同时取得,则当且仅当a2=2,b2=4时取等号
17.[1- 7,1+ 7] 由题意得,M≥|x-y2+4|,M≥|2y2-x+8|,两式相加,∴2M≥|y2+12|≥12,
??=2,??-??2+4=2??2-??+8,即M≥6,当且仅当 ? 时等号成立,
??=0??=0
2
2
∴m2-2m≤6?1- 7≤m≤1+ 7,即实数m的取值范围是[1- 7,1+ 7]. 18.解(1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0,
由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2},
得x1=-3,x2=-2是关于x的方程kx2-2x+6k=0的两根,则-2-3=??,解得k=-5. (2)∵x>0,∴f(x)=??2+6=
2??
6≤6(当且仅当x= 6时,等号成立), ??+??22
2 6又已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,
∴实数t的取值范围是 6,+∞ . 19.证明(1)f(x)=x?x2+x-1=0,
22??1+??1-1=0,1-??1=??1,∴ 2∴ ??2+??2-1=0,1-??2=??2.2
6∵
????+1-??1????+1-??2??1-??1??1-??2
=
1
-??1+????11-??1+????2
=
1-??1-??1????
1-??2-??2????
=
??1-??1??????2-??2????
22
=??1·??
????-??1, 2????-??2
又
≠0,??1≠0,∴数列
2
??
????-??1 为等比数列. ????-??2
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(2)设m=2,则f(m)=m.
由a1=2及an+1=1+??得a2=3,a3=5,a4=8.
??
5-1
11235
∴a1
下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,a2n-1
②假设当n=k时,命题成立,即a2k-1
由f(x)在区间(0,+∞)上递减,得f(a2k-1)>f(a2k+1)>f(m)>f(a2k+2)>f(a2k), ∴a2k>a2k+2>m>a2k+3>a2k+1,
由m>a2k+3>a2k+1,得f(m) ∴m ∴当n=k+1时,命题也成立. 由①②知,对一切n∈N*命题成立,即存在实数m,使得对???∈N*,??2??-1 20.(1)解∵对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤2, |f(0)|≤2,|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2, 11 1 1 1 ∴|c|≤2,|a+b+c|≤2,|a-b+c|≤2; ∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|≤|3(a+b+c)|+|(a-b+c)|+|-3c|≤2+2+ 323 1 11 =2. 7 ∴|f(2)|的最大值为2. (2)证明∵-2≤a+b+c≤2,-2≤a-b+c≤2,-2≤c≤2, 1 11 11 1 7 ∴-1≤a+b≤1,-1≤a-b≤1,∴-1≤a≤1, 若c|x|+bx=0,则|g(x)|=|a|,∴|g(x)|≤1, 若c|x|+bx≠0,则g(x)为单调函数, |g(-1)|=|a-b+c|≤2,|g(1)|=|a+b+c|≤2, 1 1 ∴|g(x)|≤2.综上,|g(x)|≤1. 21.证明(1)由an>0,an+1+??<2, ?? 1 1 9 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 1 1 ??所以an+1<2-??<2,因为2>an+2+???? ??+1 ≥2 ????+2, ??+1 所以an+2 (2)假设存在aN≤1(N≥1,N∈N*), 由(1)可得当n>N时,an≤aN+1<1, ?? 因为an+1-1<1-??=??<0,而an<1, ???? 1??-1 所以于是 11 ????+1-1????+2-1 > ????1=1+. ????-1????-1 1????+1-1 >1+, …… 1????+??-1 >1+ 1????+??-1-11 . 1????+1-1 累加可得 ????+??-1 >n-1+ .(*) 由(1)可得aN+n-1<0, 而当n>-因此有 1????+1-11 +1时,显然有n-1+ 1????+1-1 1????+1-1 >0, ????+??-1 22.证明(1)因2????+1-2????=an+1-2????=(1-an)(1+2an), 故只需要证明an<1即可. 下用数学归纳法证明: 当n=1时,a1=2<1成立, 假设n=k时,ak<1成立, 那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1 1 < 2=1, π 1+1 所以综上所述,对任意的正整数n,an<1. (2)用数学归纳法证明an=cos当n=1时,a1=2=cos3成立, 假设n=k时,ak=cos π3·2 ??-1 3·2 ??-1 . 1π , 10 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1 = π cos π+1??-1π3·2=cos 23·2??. 所以综上所述,对任意n,an=cos(3)2=1-故 ?? 3·2 ??-1 . π3·2 ??-1 1-????-1????-1+122 =1-????=sin 2 π3·2 ??-1 < ,得an-1>1- 2 2π2 ??-1 9·4 . 2??2112??2 Sn>∑ 1-i +2=n-2?99·4??=2 × 41127+??2 × 1-n-1 >n-54. 3164 11