故有 x???v0e0?k?mtdt?mv0k
(4)当t=
mk时，其速度为
v?v0ekm?m?k?v0e?1?v0e
即速度减至v0的
1. e?12-10 一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得t?(2)子弹所受的冲量
ab
1I??(a?bt)dt?at?bt2
02t将t?a代入，得 ba2I?
2b(3)由动量定理可求得子弹的质量
Ia2m??v02bv0
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，
能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．? 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为
y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
A1??f?dy???fdy??kydy?ss01k ① 2?0时，f???f．
式中
f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt设第二锤外力的功为
A2，则同理，有
y2A2??kydy?112kky2?22 ②
由题意，有
1kA2?A1??(mv2)? ③
22即
12kkky2?? 222所以，
y2?2
于是钉子第二次能进入的深度为
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端
一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比．?
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
题2-15图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1k2??x2k1弹性势能之比为
Ep1Ep21k1?x12k?2?21k12k2?x22
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，
最初m1静止于
A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落下m1,求它下落到B处时的速率．
解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
??m2gh?式中?l为弹簧在
11(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2] 22A点时比原长的伸长量，则
?l?AC?BC?(2?1)h
联立上述两式，得
v?2?m1??m2?gh?kh2m1?m2?2?1?2
题2-17图
2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
mgR?11mv2?MV222
又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv?MV?0
联立，以上两式，得
v?2MgR
?m?M?3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
解: l?3?3?l01??2?51??2,则?1??25
∴ v?1?94c?c 255
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测
-6
者来判断?介子能否到达地球．
解: ?介子在其自身静止系中的寿命?t0?2?10?6s是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨
胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
?t??t0v21?2c?3.16?10?5s
这段时间飞行距离为d?v?t?9470m
因d?6000m，故该?介子能到达地球．
或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在?t0时间内，地球接近的距离为
d??v?t0?599m
d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：