12(l?h)的抛物线，如右图所示，图中 12H?（注：以(l?h)，A为焦点．
12y
轴为对称轴、顶点在y1?(l?h)处的抛物线方程为
1??2x??2PY??2P?y?(l?h)???2Py?p(l?h)，
2??与x2??2(l?h)y?(l2?h2)比较，得P?l?h．焦点与顶点的距离为
P2?12(l?h)。
（2）珠子在N点的运动方程
因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分，则珠子受的力有三个：一个是重力mg；另外两个是两边绳子对珠子的拉力，它们分别沿NB和NA方向，这两个拉力大小相等，皆用T表示，则它们的合力的大小为F?2Tcos?，?为N点两边绳子之间夹角的一半，F沿?ANB的角平分线方向．
因为AN是焦点至N的连线，BN∥Y轴，根据解析几何所证的抛物线性质可知N
??点的法线是?ANB的角平分线，故合力F的方向与N点的法线一致．
由以上的论证，再根据牛顿定律，作一般曲线（抛物线）运动的珠子的运动方程（沿法线方向）应为2Tcos??mgcos??m?2?2?，
即2Tcos??m??mgcos?
式中?是N点处轨道曲线的曲率半径；?为珠子 在N 处时速度的大小．根据机械能守恒定律或运 动学知识可得：??（3）求曲率半径?
当绳子断裂时T＝Td，由(2)中可知，如果我们能另想其他办法求得曲率半径
?与y的关系，就可能由（2）的最后两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标y．现
2gy
提出如下一种作法．作一条与小珠轨迹对于x轴呈对称状态的抛物线，如右图所示．由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹．而平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且还知道其受力情况及详细的运动学方程．这样我们可不必通过轨迹方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与N对称的N'点处抛物线的曲率半径?与y 的关系，也就是N处抛物线的曲率半径?与y 的关系．
设从抛出至落地的时间为t，则有?0t?l2?h2，H?由上面二式解得?0?g(l?h) 12(l?h)?12gt2
设物体在N'处的速度为??，由机械能守恒定律或运动学知识可得
????0?2g(H?BN?)
22物体在N'处法线方向的运动方程为mgcos??由以上三式及H?12(l?h)，可求得：??m??2?
2(l?y)cos?2(l?BN?)cos?这也等于N点抛物线的曲率半径，BN=BN′=y，故得??（4）求绳被拉断时小球的位置和速度的大小 把?和?代入式2Tcos??m?2
??mgcos?，可得绳子张力T?mgl2(l?y)
当T=Td时绳子被拉断，设此时珠子的位置坐标为（xd，yd），由上式得
yd?l(1?mg2Td)，代入（1）中运动方程求得xd?mgl(l?hTd)?(l?h)
2绳子断开时珠子速度的大小为?d?2gyd?2gl(1?mg2Td)。
11．解：（1）如图所示，设滑块出发点为P1，离开点为P2，按题意要求O1P1、O2P2与竖直方向的夹角相等，设其为?，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P2处脱离滑道的条件是
P1
A O1 ??O P2 ??O2 B
2
mvR?mgcos? (1)
由机械能守恒
2mgR(1?cos?)?12mv2 (2)
(1)、(2)联立解得
co?s?45或??arccos45?3652?
? (3)
（2）设滑块刚能在O点离开滑道的条件是
mv0R2?mg （4）
v0为滑块到达O点的速度，由此得
v0?Rg （5）
设到达O点的速度为v0的滑块在滑道OA上的出发点到O1的连线与竖直的夹角为?0，由机械能守恒，有
mgR(1?cos?0)?12mv0
2（6）
由（5）、（6）两式解得
?0?π3 （7）
若滑块到达O点时的速度v?v0，则对OB滑道来说，因O点可能提供的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的水平切线方向离开O点．对于v?v0的滑块，其在OA上出发点的位置对应的?角必大于?0，即???0，由于?maxvmax??π2，根据机械能守恒，到达2RgO点的最大速度
（8）
由此可知，能从O点离开滑道的滑块速度是v0到vmax之间所有可能的值，也就是说，? 从π3至π2下滑的滑块都将在O点离开滑道．以速度v0从O
点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至O2的距离
x0?v0t （9）
R?12gt2 （10）
由（5）、（9）、（10）式得
x0?2R （11）
当滑块以vmax从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到O2的距离
xmax?vmaxt （12）
由（8）、（10）、（12）式得
xmax?2R （13）
2R因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到O2的距离在的所有可能值．即
2R?x?2R
到2R之间
（14）
12．解：在地面参考系中，列A、B的牛顿定律方程
ma1?mg?k(x2?x1?l0)
(1??)
2ma2?2mg?k(x2?x1?l0)
(2??)
x1、x2是A、B的坐标，l0是弹簧的自然长．
t?0时，有
O A x1x1?0,x2?l,lv1?0 v2?0
k B x2为初始时即细线刚烧断时刻，弹簧的长度，有关系
k(l?l0)?2mg
x 所以
l0?l?2mgk
由(1??)+(2??)，
a1?2a2?3g
，a是一个恒定的加速度，结合初始条件，a对应的坐标
令a?a1?2a2?3g
和运动方程是，
x1?2x2?2l?32gt2 (3??)
由(2??)?2?(1??)，
2m(a2?a1)??3k(x2?x1?l0)
(4??)
这是一个以A为参考系描写B物体运动的动力学方程，且是简谐的，所以直接写出解答，
x?3k2?x1?l0?Acos?2mt??????? ?结合初条件，
l?l0?Acos?
A3k2msin??0
得到
??0
A?l?l0?2mgk
所以
x2?x1?l0?2mgkcos??3k??2mt??? ?即
x2?x1?l?2mg2mg?3kk?kcos??
?2mt????由(3??)?2?(5??)，得
x1?1??2gt2?4mg??1?3k??3k??cos??2mt??? ???由(3??)+(5??)，得
x2?l?12gt2?2mg??1?cos??3k???3k??t???2m????(5??)
(6??)
?7???