2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案
解：(1)若一个数是偶数，则它可以被2整除．真命题；(2)若一个函数为奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题.
四种命题及其关系 [例2] 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； (2)若ab＝0，则a＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.
[思路点拨] 找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．
[精解详析] (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题． 否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题． 逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题． (2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题． 否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题． 逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题． 逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题． 否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题． 逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题． [一点通]
1．由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法： (1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题． 2．原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．
4．有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形的四条边相等”的逆命题；③“若m≥2，则x2＋mx＋1＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
A．①②
B．②③
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C．①③ D．③④
解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.真命题．②逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假命题．③逆否命题：若方程x2＋mx＋1＝0无实根，则m<2.真命题．④原命题为假命题，逆否命题也为假命题．
答案：C
5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题： π
(1)若α＋β＝，则sin α＝cos β；
2
(2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，则ab＝cd. π
解：(1)逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝；
2π
否命题：若α＋β≠，则sin α≠cos β；
2π
逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠. 2
(2)逆命题：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d； 否命题：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd； 逆否命题：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d.
6．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题． (1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
解：(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面． 否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0. 否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根． 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.
逆否命题的应用 [例3] 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[思路点拨] 本题可直接写出其逆否命题判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推
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断其逆否命题的真假．
[精解详析] 法一：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2
＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.
所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集， 故逆否命题为真命题． 法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 7
即4a－7≥0，解得a≥. 47
∵>1，∴a≥1.∴原命题为真． 4
又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真． [一点通]
由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．
7．命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：当m>0时，Δ＝1＋4m>0， ∴x2＋x－m＝0有实数根．
∴原命题为真，故其逆否命题为真． 答案：真
8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2
－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1时，
a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．
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1．互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题的关系，是相对而言的，把其中一个命题叫作原命题时，另外三个命题分别是它的逆命题、否命题、逆否命题．
2．写四种命题时，大前提应保持不变．判断四种命题的真假时，可以根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同来判断．
[对应课时跟踪训练?一?]
1．命题“若x＞1，则x＞－1”的否命题是( ) A．若x＞1，则x≤－1 C．若x≤1，则x≤－1
B．若x≤1，则x＞－1 D．若x＜1，则x＜－1
解析：原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
答案：C
2．给出下列三个命题：( )
①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③“若x≠y，或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
答案：B
π
3．(湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
4π
A．若α≠，则tan α≠1
4π
C．若tan α≠1，则α≠
4
π
B．若α＝，则tan α≠1
4π
D．若tan α≠1，则α＝ 4
π
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，
4π
则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
4
答案：C
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4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( ) A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0” C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
解析：逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
答案：B
5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是___________________________，q是___________________________．
答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．
6．命题“若x2<4，则－2 答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4 真 7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题． 解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交； 逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行； 否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交； 逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行． 8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b) ∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a) 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a) 9