2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案
§3全称量词与存在量词
§3
全称量词与存在量词
[对应学生用书P8]
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．
问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
提示：任意一个，全部，每个． 问题2：上述词语都有什么含义？ 提示：表示某个范围内的整体或全部．
全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.
观察语句①②：
①存在一个x∈R，使3x＋1＝5； ②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．
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全称量词与全称命题 存在量词与特称命题 2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案
提示：是，都为真命题．
问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？ 提示：表示总体中“个别”或“一部分”．
问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？ 提示：某些，有的，有些．
存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.
观察下列命题：
①被7整除的整数是奇数； ②有的函数是偶函数；
③至少有一个三角形没有外接圆．
问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？
提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？ 提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数． 问题3：判断命题③的否定的真假．
提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．
全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．
2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．
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全称命题与特称命题的否定 2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案
[对应学生用书P9]
全称命题与特称命题的判断 [例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题． (1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数； (3)正四面体的各面都是正三角形； (4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0； (5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立； (6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．
[精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”． [一点通]
判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点： (1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词； (2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．
1．下列命题为特称命题的是( ) A．奇函数的图像关于原点对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
解析：A、B、C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A、B、C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
答案：D
2．下列命题中，全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②所有的素数都是奇数； ③有的等差数列也是等比数列； ④三角形的内角和是180°. A．0个
B．1个
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C．2个 D．3个
解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
答案：D
全称命题与特称命题的真假判断 [例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1 [思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假． [精解详析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在x1＝0，x2＝π，x1 1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可． 2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题． 3．下列命题的假命题是( ) A．有些不相似的三角形面积相等 B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0 C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大 D．有一个实数的倒数是它本身 解析：以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，13 x＋?2＋>0.故B为假命题． 都有x2＋x＋1＝??2?4 答案：B 23 2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案 4．判断下列命题的真假，并说明理由： 1 (1)对任意x∈R，都有x2－x＋1＞成立； 2 (2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立； (3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N； (4)存在x，y∈Z，使2x＋y＝3成立． 1331 x－?2＋≥＞，所以该命题是真命题． 解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝??2?442111 法二：x2－x＋1＞?x2－x＋＞0，由于Δ＝1－4×＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞ 2221 的解集是R，所以该命题是真命题． 2 ππππππ2π (2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos(－)＝cos(－)＝cos＝，cos α－cos β＝cos－ 42424424π22 cos＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题． 222 (3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∈/ N，所以该命题是假命题． (4)当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使2x＋y＝3，所以该命题是真命题. 全称命题、特称命题的否定 [例3] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形． [思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定． [精解详析] (1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题． 命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下． (3)是特称命题且为真命题． 命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数． (4)是特称命题，且为真命题． 命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形． [一点通] 1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题． 24