2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案
4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是________． 解析：若x2－ax＋1>0的解集为R，则Δ＝a2－4<0，即－2
又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2
答案：－2
5．等差数列{an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列{Sn}为递增数列的充要条件是________．
n?n＋1?n?n－1?
解析：由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)?(n＋1)a＋d＞na＋d(n∈N＋)?dn＋a＞0(n∈N
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＋
)?d≥0且d＋a＞0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0. 答案：d≥0且d＋a＞0
6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. ∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ∴必要性成立．
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b. 代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得： ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0. 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的应用 3－m3＋m[例3] 已知p：关于x的不等式＜x＜，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必
22要条件，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解． 3－m3＋m
[精解详析] 记A＝{x|＜x＜}，B＝
22{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}， 若p是q的充分不必要条件，则A?B. 注意到B＝{x|0＜x＜3}≠?，分两种情况讨论：
3－m3＋m
(1)若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
223－m3＋m
(2)若A≠?，即＜，解得m＞0，
22
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?
要使A?B，应有?3＋m
＜3，解得0＜m＜3.2?m＞0，
[一点通]
3－m
＞0，2
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．
将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．
7．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值．
解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
?1?
令A＝{2，－3}，B＝?－m?，
?
?
∵q是p的充分不必要条件，∴B?A.
1111当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝. m2m311所以m＝－或m＝.
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8．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若x∈M是x∈N的充分条件，求a的取值范围．
解：由(x－a)2<1得 x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1 ??a－1≥－3， ∴?解得－2≤a≤7. ?a＋1≤8，? 故a的取值范围是[－2,7]． 1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系； (1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题； (2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题； (3)若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题． 16 2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案 2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系． [对应课时跟踪训练?二?] 1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件． 答案：A 2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( ) A．m＝－2 C．m＝－1 B．m＝2 D．m＝1 m 解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2. 2答案：A ac 3．已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“＋＝2”，则命题p是命题q bb的( ) A．必要不充分条件 C．充要条件 B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ac 解析：若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数 bbac 列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题p是命题q bb的必要不充分条件，故选A. 答案：A 4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A. 17 2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案 答案：A 5．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是________． |－1＋m| 解析：直线l与圆C有公共点?≤2?|m－1|≤2?－1≤m≤3. 2答案：m∈[－1,3] 6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件 (1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________； 1?(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间??2，＋∞?上为增函数”的________． 解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p1 ，＋∞?上是增＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在??2?1 ，＋∞?上是增函数不能得到a＝1，函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间?如当a＝0时，函数f(x)?2?11 ，＋∞?上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＝|2x－a|＝|2x|在区间??2?2＋∞)上为增函数”的充分不必要条件． 答案：(1)③ (2)① 7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)? (1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形； (2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； 1 (4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠. 2 a2＋c2－b2 解：(1)△ABC中，∵b＞a＋c，∴cos B＝＜0， 2ac 2 2 2 ∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2. ∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分条件． 18 2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案 (3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件． 1 (4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件． 211 ∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝?/ A＝30°， 221 ∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件． 2即p是q的必要不充分条件． 8．求方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件． 1 解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，不符合要求； 2 ②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为 ? ?－2<0，?a1??a>0， 4－4a>0， 解得0 所以ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0 19