???????????????????????10.设OA?a,OB?b,OC?c,且A，B，C三点不共线，AB?p，AC?q，???? ?b?ac?a求向量a?（t?）（t?0）对应点的轨迹。pq????????????????????b?a????c?a解：?b?a?AB,c?a?AC,?AD?,AE?pq????????这两个向量分别表示与AB，AC方向相同的单位向量。????????????设AD?AE?AF，则ADEF是菱形，?AF平分顶角A，
????????????????b?ac?a?向量a?（t?）=OA?t(AD?AE)pq????????OA?tAF(t?0)对应点的轨迹是?BAC的平分线。五、不等式
5.1不等式的概念与性质
1、 两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有
a－b＞０ a＞b；a－b＝０ a＝b； a －b＜０ a＜b. 2、 不等式的性质
现行教材中介绍的不等式的１１条性质可以分为两部分，第一部分为以下４条性质定 理：
（１）对称性：a＞b b＜a;
（２）传递性：a＞b，b＞c a＞c； （３）不等量加等量：a＞b a＋m＞b＋m； （４）不等量乘正量：a＞b，c＞０ ac＞bc. 第二部分为两个不等式的运算性质，共有７条：
（５）同向不等式相加：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d； （６）异向不等式相减：a＞c，b＜d a—b＞c—d； （７）同向不等式相乘：a＞b＞０，c＞d＞０ ac＞bd； １ １
（８）不等式取倒数：a＞b , ab＞０ ——＜—— ； a b
a b
（9）异向不等式相除：a＞b＞0，0＜c＜d — ＞ —；
c d
22
（10）不等式的乘方：a＞b＞0 a＞b（n∈N）； （11）不等式的开方：a＞b＞0 a＞ b（n∈N）。 5.2有理不等式的解法
26
1、 一元一次不等式的解法 步骤：（1）化成标准形ax＞b； （2）求解集。
2、 一元二次不等式的解法
22
步骤：（1）化标准形：ax+bx+c＜0或ax+bx+c＞0； （2）判断△，进一步求方程的根； （3）根据△及a的正负，写解集。 这种解法叫“△”法。 3、 一元高次不等式的解法
这里只研究能分解成若干个一次因式积的形式的一元高次不等式，其步骤如下： （１）化标准形：设f (x)=（x—x1）（x—x2）?（x—xn），则化为f（x）＞０或 f（x）＜０；
（２）在序轴（简化的数轴）上标根（n个），将序轴分成n＋１个区间； （３）判断f（x）在这n＋１个区间上的正负，从而得解的区间。 这种解法叫做序轴标根法，简称根轴法。 ４、分式不等式的解法
f（x） f（x） 步骤：（１）化标准形———＞０或———＜０（g（x）是关于x的代数式）； g(x) g(x) （２）同解变形为f（x）2g（x）＞０或f（x）2g (x) ＜０； （３）通过一元高次不等式的求解步骤完成。
注：解不等式时，一定要注意不等式中未知数允许取值的范围，即不等式的定义域 5.3无理不等式与绝对值不等式的解法
1、 无理不等式的解法
f（x）≥０， f（x）≥0， （１）f（x）＞g（x） g（x）≥０， 或 2
f（x）＞[g（x）]， g（x）＜0； f（x ）≥0， （2） f（x）＜g（x） g（x）＞0，
2
f（x）＜[g（x）]
2、 绝对值不等式的解法
（1）|x|＞a（a＞0） x＜—a或x＞a； （2）|x|＜a（a＞0） —a＜x＜a。 5.4指数不等式、对数不等式的解法
1、 指数不等式的标准形 f(x)g(x)
a ＞a( a＞0且a≠1) 当a＞1时，f（x）＞g（x）；
27
当0＜a＜1时，f（x）＜g（x）。 2、 对数不等式的标准形 log0f（x）＞log0g（x）（a＞0且a≠1） 当a＞1时，
f（x）＞0 g（x）＞0 g（x）＞0
f（x）＞g（x） f（x）＞g（x）；
当0＜a＜1时，
f（x）＞0 f（x）＞0 g（x）＞0
f（x）＜g（x） f（x）＜g（x）；
有些指数不等式与对数不等式也可借助于图象求解。 5.5不等式证明（一）
1、 作差比较法
根据：不等式的定义a＞b a—b＞0。
方法：作差、对差式因式分解或配方以判断差式的符号，根据差式符号证明被减式与 减式的大小关系。
2、 作商比较法
a
根据：不等式的性质a＞b＞0 ——＞1且b＞0。 b
方法：作商，通过商与1的大小关系，在分母符号确定的前提下，证明分子与分母的大小关系。
5.6 不等式证明（二）
1、 分析法
在证明过程中执果索因，从结论出发找命题成立的充分条件，直到找到明显成立的不 等式或可证的不等式为止，这种证明方法叫做分析法，用分析法证明“若A成立，则B成立”的模式是：欲证命题B为真，只需证B1为真，从而又只需证B2为真，从而又??只需证A为真，今已知A为真，故B必真，用推出符号简化，即是B B1 B2? Bn A。
2、 综合法
从一个正确的不等式出发，根据不等式的性质对该不等式作一系列变形，直至推演出 所求证的不等式。
作为“公式”的不等式，常用的有：
2
（1） a∈R，则a≥0；
+
（2） a，b∈R，则a+b≥2 ab，等号成立的充要条件是a=b；
22
（3） a，b∈R，则a+b≥2ab，等号成立的充要条件是a=b；
+333
（4） a，b，c∈R，则a+b+c≥3abc，等号成立的充要条件为a=b=c；
（（2）、（3）、（4）3个不等式叫做平均值不等式）
28
（5）| |a| —|b| | ≤|a±b|≤|a|+|b|. 5.7不等式证明（三）
1、 反证法
假设结论不成立，由此出发进行证明，最出导出矛盾的结果，从而得出所证的结论一 定成立，这种间接的证明方法叫做反证法。
用反证法证明不等式，一般有3个步骤： （1） 假设不等式的结论不成立（反设）；
（2） 从这个结论出发，经过理论论证，得出矛盾（归谬）；
（3） 由矛盾得出反设不成立，从而断定不等式的结论成立（断言）。 2、 换元法
换元法又称辅助元素法，通过引进辅助元，可能把分散的条件联系起来，或者把隐含 的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的问题，换元时一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的应用。
3、 放缩法
在不等式证明中，不等式的一边有时要舍弃一些项，有时在分式中得用放大或缩小分 式的分子、分母使分式的值变大（小），从而使推理过程顺利进行，以达到证明的目的，这种证明方法叫做放缩法。 5.8不等式的应用
1、利用平均值不等式求最值
+
若p、k为常数，a，b，c∈R，则
（1） 若a2b=k，当且仅当a=b时，a+b有最小值2 k；
2
p
（2）若a+b=P，当且仅当a=b时，a2b有最大值——； 4
（3）若a2b2c=k，当且仅当a=b=c时，a+b+c有最小值3 k ；
3
p （4） 若a+b+c=p，当且仅当a=b=c时，a2b2c有最大值——。
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运用以上结论求最值要注意下列3个问题： （1）要求各数均为正数；（2）要求和或积为定值；（3）要注意是否具备等号成立的条件。
2、以不等式为模型的实际应用问题
解决实际应用问题，首先要过“阅读理解”关，阅读关是指懂题目，能够概括出问题 涉及到的是哪些内容；理解关是指准确理解和把握这些量之间的关系，能够概括为一个纯 数学问题。
3、 利用不等式研究函数
包括定义域、值域，单调区间及单调性，函数的最值等。
不等式习题
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一、选择题 1、若
11的是(D) ??0，则下列结论不正确．．．
ab222(A)a?b (B)ab?b (C)
ba??2 (D)|a|?|b|?|a?b| ab2、若a,b∈R，则使|a|+|b|＞1成立的充分不必要条件是? A.|a+b|＞1 B.|a|≥3、不等式
11且|b|≥ C.|a|≥1 D.b＞-1 22ax<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a＝ （C ） x?111 (A)2 (B)—2 (C) (D)—
22114、.四个条件：b＞0＞a;0＞a＞b;a＞0＞b;a＞b＞0中，能使?成立的充分条件个数是
abA.1 B.2 C.3 D.4
5、建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地 板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，若窗户和地板同时增加相等的面积，则住宅的采光条件比原来?（ ）
A.变好了 B.变差了 C.无变化 D.以上情况都有可能 二、填空题
a2?b21、已知a>b，a2b=1则的最小值是 22
a?b2、已知a＞b＞c，若不等式
11k＞恒成立，则k?___________________ ?a?bb?ca?c2??x?2x?a?03、设A={x|1 2??x?2(a?7)x?5?0值范围是___________ 三、解答题 1、a≠0,解不等式x+2＜a( 2+1) xx2?(2?a)x?2a2解：x+2＜a(+1)?<0 (4分)?x(x+2)(x－a)＜0 5分 xx①当a＞0时，解集为{x|x＜－2或0＜x＜a} 7分 30