数学分析第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用*点击以上标题可直接前往对应内容多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容,也是数学的研究课题之一.带有佩亚诺型余项的泰勒公式
设f(x)在x?x0处可导, 由有限增量公式
§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?o(x?x0).当|x?x0|充分小时, f(x)可以由一次多项式
f(x0)?f?(x0)(x?x0)近似地代替,其误差为o(x?x0).但在许多情况下,误差仅为o(x?x0)是不够的, 而要考虑用较高次的多项式来逼近f, 使得误差更小,如o((x?x0)).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社后退
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n§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
问题: 是否存在一个n次多项式Pn(x),使得
f(x)?Pn(x)?o((x?xo))?答案: 当f (x)在点x0有n 阶导数时, 这样的n 次多项式是存在的.现在来分析这样的多项式与f (x)有什么关系？设
Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0),nn则
Pn(x0)?a0,Pn?(x0)?a1,Pn??(x0)?2!a2,?,Pn(x0)?n!an,(n)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
Pn?(x0)Pn??(x0)即a0?Pn(x0),a1?,a2?,?,1!2!Pn(x0)an?.n!上式表明Pn(x) 的各项系数是由其在点x0 的各阶
导数所确定的.
设f (x) 在x0 处n 阶可导. 如果
(n)f(x)?Pn(x)?o((x?x0)),即
f(x)?Pn(x)lim?0,nx?x0(x?x0)n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
则不难得到:
f(k)(x0)?Pn(x0),k?0,1,2,?,n,(k)(1)其中k?0表示不求导.这时称f?(x0)Tn(x)?f(x0)?(x?x0)?1!(x0)n?(x?x0).n!为f (x) 在点x0 的n 阶泰勒多项式, 称
f(n)?(2)(x0)(k?0,1,,n)k!Tn(x)确实是我们所需要的多项式. 为泰勒系数.
数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社f(k)