§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
定理6.8设f (x) 在x = x0处有n 阶导数，则f(x)?Tn(x)?o((x?x0)),即f?(x0)f??(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)?1!2!(n)f(x0)nn(3)??(x?x0)?o((x?x0)).n!n证设Rn(x)?f(x)?Tn(x),Qn(x)?(x?x0),故只需证
Rn(x)Rn(x)lim?0.nx?x0Qn(x)(x?x0)n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
因为Rn(x)?f(x)?Tn(x)R(x)?f所以
(k)n(k)(x)?Tn(x)(n)(k)?(x0)???Rn(x0)?0,Rn(x0)?Rn?(x0)?Qn(x0)?Qn??Qn(n?1)(x0)?0,Qn(x0)?n!(n)连续使用n –1 次洛则当x?U(x0)且x?x0时，必达法则, 得到
?(x)Rn(x)Rn(x)Rn???limlim?limnn?1x?xx?xx?xn!(x?x0)(x?x0)n(x?x0)00(n?1)0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余
项的泰勒公式在近似计算中的应用
?f1?lim?n!x?x0?(x0)(x?x0)???(n?1)(n?1)?f?(x)?f(x0)1(n)?lim??f(x0)??0.n!x?x0?x?x0?(x)?f(x0)?fx?x0(n?1)(n?1)(n)(3)式称为f(x)在点x0处的带有佩亚诺型余项的n
阶泰勒公式.
注1即使f(x)在点x0附近满足
f(x)?Pn(x)?o((x?x0))数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社n(4)也不能说明Pn(x)一定是f (x) 的n阶泰勒多项式.
§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
比如
f(x)?D(x)?xn?1,Pn(x)?0,在x0?0处满足(4).但是当n > 1时,Pn(x)不是
f (x) 在点x0?0的n 阶泰勒多项式, 原因是f (x)在点x =0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存在,所以无法构造n 阶多项式.
注2 若f (x) 在点x0有n 阶导数, 则只有惟一的多项式( 泰勒多项式Tn(x) ) 满足:
f(x)?Tn(x)?o((x?x0)).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社n§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
注3可以证明对任意一个n 次多项式Pn(x),存在U(x0),使得
|f(x)?Tn(x)|?|f(x)?Pn(x)|,x?U(x0).这也就是说,Tn(x)是逼近f(x)的最佳n 次多项式.在以后的应用中, 公式(3) 中的x0 常被取作0, 形式变为
f'(0)f(0)nnf(x)?f(0)?x??x?o(x)1!n!(k)nf(0)kn??x?o(x).k!k?0此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.
数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社(n)