§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
例2 求f(x)?e?x22的麦克劳林公式, 并求f2n(98)(0)与f(99)xxxn???o(x),解由例1e?1??1!2!n!那么x2242nxx?2nx2ne?1??2??(?1)n?o(x).22?2!2?n!x(0).的麦克劳林由定理6.8 的注2, 可知上式就是e9899公式,由泰勒系数公式可知x和x的系数为491(98)(?1)1(99)f?49,f(0)?0,98!2?49!99!于是得到f高等教育出版社?x22(98)(0)??98!249?49!,f(99)(0)?0.数学分析第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
1例3求x在点x?1的泰勒公式.
12nn解利用?1?x?x??x?o(x).1?x111??x1?(x?1)1?[?(x?1)]?1?(x?1)?(x?1)??(?1)(x?1)?o((x?1)).下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.
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带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
ln(1?x)?e?sinx?1.例4 求lim3x?0xx4解因为ln(1?x)??x??o(x),222333?x222?x234x4sinx?x?o(x),e?1?x??o(x),2!22?x3所以ln(1?x)?e?sinx?1lim3x?0x2233?x?1?x?x?1?o(x)=lim3x?0x33?x?o(x)?lim??1.3x?0x本题虽然可用洛必达法则来求, 但上法比较简单.
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带有拉格朗日型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是有限增量公式的一个推广, 它只是定性地的告诉我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为
o((x?x0)).n下面是一个定量形式的泰勒公式.
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带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用
定理6.10（泰勒定理）若函数f(x)在[a,b]上存在直到n阶连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 则对?x,x0?[a,b],存在??(a,b),使f?(x0)f??(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)?1!2!(n)(n?1)f(x0)f(?)n?1??(x?x0),(5)n!(n?1)!(n?1)f(?)n?1或者f(x)?Tn(x)?(x?x0).(n?1)!其中Tn(x)是f(x)在点x0的n阶泰勒多项式.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社