2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题
7.B 设直线方程为x=my+p,代入y2=2px,可得y2-2pmy-2p2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p2, ∵ ????=2 ????,∴(p-x1,-y1)=2(x2-p,y2),
∴x1=-2x2+p,y1=-2y2,
可得y2=p,y1=-2p,∴x2=2p,x1=2p, ∴
|????||????|
1
=
12??+2??11??+??22=2,故选B.
5
8.B 由题意可得A(a,0),F(c,0),即有c= ??2-2, 令x=c,可得y=± 2 1-??2=±??,可得P ??2-2,?? , 由AP⊥PD,可得kAP·kPD=-1, 即2?? ??2-2-??
??2
22
·2-??????
- ??2-2
=-1,
解得xD= ??2-2?
??+ ??2-2
24??2(??- ??2-2)
, 由|DF|= ??2-2-x
,可得
=
??+ ??2-2
2D=4??2(??- ??2-2)
, 即为a2[a2-(a2-2)]=8,即a2=4,解得a=2. 则椭圆C的长轴长为4.故选B. 9.D 由于图形的对称性,不妨联立
??
??=-????,??=??(??-??),
??
??
??=2,
∴M ??,-???? ,F1(-c,0),F2(c,0), 解得 ????22????=-2??,
3?????? ?????? ∴ ????= -, ,????= , , 1222??22??????23??2 由题意可得????1·????2>0,即4??2?4>0,
2
化简可得b2>3a2,即c2-a2>3a2,
6
2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题
??
故可得c2>4a2,c>2a,可得e=??>2.故选D.
???????? 可得P (??+??)??,(??-??)???? ,代入10.B 不妨令A ??,?? ,B ??,-?? ,由 ????=m ????+n????
??2
(??+??)??2
双曲线方程得??2????2(??-??)???2·2??
22
=1,化简得??2·4mn=1,∵mn=9,∴??2=8,
2??2
2
??2
9
∴
??
??22
=8,故双曲线的渐近线方程为y=±4x,故选B.
7 22
1
1
11.1 4 ①∵l1⊥l2,则-× -?? =-1,解得b=1.
-2
②若l1∥l2,则-=-??,解得b=-1.∴两条直线方程分别为x-y+2=0,x-y-3=0. =4. 212.-1 3 ∵圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称, ∴直线l:x+my+1=0过圆心C(1,2), ∴1+2m+1=0.解得m=-1.
圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2, ∵经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P, 则两直线间的距离为 -3-
2-2
11
127 2∴|MP|= (1+1)2+(2+1)2-4=3.
13.y2=4x 10 5 本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得
2??2??
·=-1,解得??2-1??21 4a= 5(不妨取正值),从而可得△OAB面积是10 5.
14.(0,2) ??=??2,整理得x2-kx-m=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),
??=????+??,
则x1+x2=k,x1x2=-m,
y1y2=(x1x2)2=m2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k2+2m,
=2,则x1x2+y1y2=m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2, 由 ????·????
由m>0,得m=2,
直线l:y=kx+2,∴直线l过定点(0,2),
设以AB为直径的圆的圆心M(x,y),圆M与y=4相切于点P, 由x=12??+??21
=2,则P 2,-4 ,
????1
· =0,即 ??1-??,??1+1 · ??2-??,??2+1 =0, 由题意可知 ????????
2424 7
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2
整理得
????11
x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2+4(y1+y2)+16=0,
??
1
1
代入整理得m2-2+16=0,解得m=4, ∴当m=4,以AB为直径的圆与直线y=4相切. 15. 5 如图,∵原点O到直线4x-3y+5=0的距离d=离为1,且到(0,1)的距离为1,
|5| 42+(-3)211
=1,到直线y=-1的距
∴圆O1和圆O2的一个圆心为原点O,不妨看作是圆O1, 设O2(a,b),则由题意得 ??+1= ??2+(??-1)2,
解得 ??=2,
??=1.
??+1=|4??-3??+5| 42+(-3)2,
∴|O1O2|= 22+12= 5.
16.5 可设P为第一象限的点,
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,① ????????1·2=0,可得PF1⊥PF2, 由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,② 由①②可得2|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2,
由三角形的面积公式可得2r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=2|PF1|·|PF2|, 即有c+2a= ??2+??2,两边平方可得c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2-a2, 即c2-4ac-5a2=0,解得c=5a(c=-a舍去), 即有e=??=5.
17.8 设B(0,yB),C(0,yC),A(x0,y0),其中x0>2, 所以直线AB的方程化简得(y0-yB)x-x0y+x0yB=0,
2
直线AB与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,两边平方化简得(x0-2)????+2y0yB-x0=0,
2
同理可得(x0-2)????+2y0yA-x0=0,
故yC,yB是方程(x0-2)y2+2y0y-x0=0的两个不同的实根,
??
1
1
8
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2??02-??0
??0
, 2-??0
所以yC+yB=所以
,yCyB=
??214
S=2|yC-yB|x0=0=(x0-2)++4≥8,
??0-2??0-2
所以当且仅当x0=4时,S取到最小值8,
所以△ABC的面积的最小值为8.
18.解(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),∵直线过点P,C,∴kPC=
2-0
=2,直线2-1
l
的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0;
(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0,圆心C到直线l的距离为 .∵圆的半径为3,∴弦AB的长为 34.
19.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. ??=????+2,由 2可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. ??=2??又
??2??2(????)1x1=2,x2=22,故x1x2=1422
12=4.
??
??
-4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为??1·??2=4=-1,
12所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r= (??2+2)2+??2. · =0, 由于圆M过点P(4,-2),因此 ????????
故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-2.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为 10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-2时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为 4,-2 ,圆M的半径为4,圆
92
M的方程为 ??-4
12
+ ??+2 1
9
1
851
=16.
85
9
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??2
??2
20.解(1)将l1:y=kx+m代入C1:16+4=1得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0,Δ>0恒成立,
??1+??2=-8????设A(x1,y1),B(x2,y2),则
1+4??2,
所以-4????4??1??2=
4(??2-4)1+4??
2,
1+4??
2=3,① 又d=|??+??|1-??2
2=1,得k=m4-m2-2=0,解得m= 2.
1+??
2??,②联立①②得|x4 16??2
(2)由(1)得-??2+4
4 16??2
-??2+4
1-x2|=
1+4??
2,所以|AB|= 1+??2·1+4??
2,把l2:y=kx代入
C:??2??21=1得x2=1616+41+4??
2, 所以|CD|= 1+??2·8 , 1+4??
2所以
λ=|????|
=
16??2-??2+4
1|????|
2 1+4??
2=
2 4-??21+4??
2 =1
2
24-??
1+4 12-??22??
=1??4112 4-??4-??2+1
=2
4-≥ 6 1123
3, ??2-2 +4当m= 2,k=- 2 64时,λ取最小值3.
21.(1)解焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.
(2)证明由题意,知直线l的斜率存在,故设l的方程为y=kx+m. 由方程组
??=????+??,??2
=4??,
得x2-4kx-4m=0, 由题意,得Δ=16k2+16m>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m,
所以抛物线在点A处的切线方程为y-11
4??12
=2x1(x-x1), 化简,得y=11
2x1x-4??12,
同理,抛物线在点B处的切线方程为y=1
1
2x2x-4??22. 联立方程①②,得11211
2x1x-4??1=2x2x-4??22,
10
①②