2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题
即2(x1-x2)x=4(x1-x2)(x1+x2),因为x1≠x2,所以x=2(x1+x2),代入①,得y=4x1x2=-m,所以点Q 12??+??2
,-?? ,即
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Q(2k,-m).所以点Q在直线y=-m上.
(3)解假设存在点P,使得四边形PEQF为矩形, 由四边形PEQF为矩形,得EQ⊥FQ,即AQ⊥BQ,
所以kAQ·kBQ=-1,即2x1·2x2=-1.由(2),得4x1x2=4(-4m)=-1,解得m=1.所以P(0,1). 以下只要验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可. 在①中,令y=0,得E 2??1,0 .
同理得F 2??2,0 .所以直线EP的斜率为kEP=kFQ=10-(-1)
??1+??2??-2221
1-0
10-2??1
11
1
1
1
=??,直线FQ的斜率
1
-2
=??,
1
-2
所以kEP=kFQ,即EP∥FQ. 同理PF∥EQ.
所以四边形PEQF为平行四边形.
综上所述,存在点P(0,1),使得四边形PEQF为矩形. 22.(1)解∵a=(x+ 3)i+yj,b=(x- 3)i+yj, 且|a|+|b|=4,
∴ (??+ 3)2+??2+ (??- 3)2+??2=4.
∴点M(x,y)到两个定点F1(- 3,0),F2( 3,0)的距离之和为4. ∴点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,
??2
设所求椭圆的标准方程为??2+
??2??
2=1(a>b>0),则
c= 3,
a=2,故b2=a2-c2=1. 其方程为4+y2=1.
(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=kx+m代入椭圆E的方程,消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内, 故Δ>0,由韦达定理可得x1+x2=-所以|x1-x2|=
4 16??+4-??2
1+4??
22
??2
8????1+4??
2,x1x2=
4??2-161+4??
2.
.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),
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2
所以△OAB的面积=
2 (16??+4-??2)??2
1+4????21+4??
2=t,
22
2 16??+4-??2|??|1
S=2|m||x1-x2|= 21+4??
??21+4??
2 =2 4-
??21+4??
2.
设
将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 由Δ=0,可得m2=1+4k2,即t=1, 又因为S=2 (4-??)??=2 -??2+4??, 故S=2 3为定值.
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