第5讲 数列的综合应用
[最新考纲]
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．
知 识 梳 理
1．等差数列和等比数列的综合
等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的． 2．数列和函数、不等式的综合
(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．
(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．
(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 3．数列的应用题
(1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．
辨 析 感 悟
1．等差数列与等比数列的综合问题
(1)在等差数列{an}中，首项a1公差d、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个．(√)
(2)在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个．(√)
(3)一个细胞由1个分裂为2个，则经过5次分裂后的细胞总数为63.(×) (4)(·重庆卷改编)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝128.(×) 2．增长率与存贷款利息问题
(5)某厂生产总值月平均增长率为q，则年平均增长率为12q.(×) (6)采用单利计息与复利计息的利息都一样．(×) [感悟·提升]
1．一个区别 “单利计息”与“复利计息”
单利计息属于等差数列模型，复利计息属于等比数列模型．复利也就是通常说的“利滚利”．计算本利和的公式是本利和＝本金×(1＋利率)存期，如(6)． 2．一个防范 数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解，如(3)、(5).
考点一 等差、等比数列的综合问题
【例1】 已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋?＋a3n－2.
解 (1)设{an}的公差为d.由题意，得a211＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)． 故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋?＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列． nn
从而Sn＝2(a1＋a3n－2)＝2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
规律方法 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
【训练1】 (·昆明模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列． (1)求{an}的通项公式；
?1?
(2)求数列?S?的前
?n?
n项和Tn.
解 (1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13， 所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1) 得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)
解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1. (2)由(1)知an＝2n＋1，则Sn＝n(n＋2)， 1?11?1
－??Sn＝2?nn＋2?，
1111111?1?1－＋－＋－＋?＋－Tn＝2? 32435nn＋2???111?1?
＝2?1＋2－n＋1－n＋2? ??2n＋33＝4－.
2?n＋1??n＋2?
考点二 数列在实际问题中的应用
【例2】 (·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年
上缴资金d的值(用m表示)． 解 (1)由题意，
得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， 35
a2＝a1(1＋50%)－d＝2a1－d＝4 500－2d， 3
an＋1＝an(1＋50%)－d＝2an－d. 3
(2)由(1)，得an＝2an－1－d 3?3?＝2?2an－2－d?－d ??3?3?2
＝?2?an－2－2d－d ???
3?3?2??3?n－2??3???2??. ＋?＋＝?2?n－1a1－d?1＋2＋??2????????3???3??
整理，得an＝?2?n－1(3 000－d)－2d??2?n－1－1?
???????3?＝?2?n－1(3 000－3d)＋2d. ??
由题意，得am＝4 000， ?3?即?2?m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000. ??
??3?m?
??2?－2?×1 0001 000?3m－2m＋1?????
解得d＝＝.
3m－2m?3?m
?2?－1??
1 000?3m－2m＋1?
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余
3m－2m资金为4 000万元．
规律方法 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．
【训练2】 (·安徽卷)如图，互不相同的点A1，A2，?，An，?和B1，B2，?，Bn，?分别在角
O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，
a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
解析 记△OA1B1的面积为S，则△OA2B2的面积为4S. 从而四边形AnBnBn＋1An＋1的面积均为3S. 即得△OAnBn的面积为S＋3(n－1)S＝(3n－2)S. 由△OA1B1∽△OAnBn，
a11即a＝， n3n－2∴an＝3n－2. 答案 an＝3n－2
考点三 数列与函数、不等式的综合应用
【例3】 设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－?π?an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′?2?＝0.
??(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝
，求数列{bn}的前n项和Sn.
?π?审题路线 (1)求f′(x)?由f′?2?＝0得an、an＋1、an＋2的关系式?可推出数列{an}
??为等差数列?根据条件求公差d?得出通项an. (2)由(1)知bn?分组求和?得出前n项和Sn.
解 (1)由题设可得，对任意n∈N*，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x. ?π?f′?2?＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， ??
即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．