由a1＝2，a2＋a4＝8，解得数列{an}的公差d＝1， 所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
1?1?
n＋1＋＋??＝22n1?＝2n＋2n＋2， ?
(2)由bn＝
1??1??
?1－?2?n?
n?n＋1?2????12
知Sn＝b1＋b2＋?＋bn＝2n＋2·2＋＝n＋3n＋1－
12n. 1－2
规律方法 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．
【训练3】 (·浙江五校联考)已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足an＝Sn＋Sn－1(n≥2)．
(1)求证：{Sn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
??1??
(2)记数列?aa?的前
?nn＋1???
n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成
立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为an＝Sn＋Sn－1，所以Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1，
即Sn－Sn－1＝1，所以数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，得Sn＝n， 所以an＝Sn＋Sn－1＝n＋(n－1)＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也适合，所以an＝2n－1.
1?111?1
－?， (2)因为＝＝?
anan＋1?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?
11111?1?1?1?1
所以，Tn＝2?1－3＋3－5 ＋?＋2n－1－2n＋1?＝2?1－2n＋1?.∴Tn＜2，
????要使不等式4Tn＜a2－a恒成立，只需2≤a2－a恒成立，解得a≤－1或a≥2， 故实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
1．用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量，减少差错．
2．理解等差数列、等比数列定义、基本量的含义和应用，体会两者解题中的区别．
3．注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合，了解其中蕴含的数学思想．
4．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模
型，并用它解决实际问题．
创新突破6——数列中的新定义问题
【典例】 (·湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数； ①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )． A．①② C．①③
突破1：采用特殊化思想，选定an是关键． 突破2：逐一验证．
解析 利用特殊化思想，选an＝2n判定．不妨令an＝2n.
①因为f(x)＝x2，所以f(an)＝4n.显然{f(2n)}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22， f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28， f?a2?24f?a3?28所以＝2＝4≠＝4＝16，
f?a1?2f?a2?2所以{f(an)}不是等比数列．
③因为f(x)＝|x|，所以f(an)＝2n＝(2)n. 显然{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列．
④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln 2n＝nln 2.显然{f(an)}是首项为ln 2，公差为ln 2
B．③④ D．②④
的等差数列，故应选C. 答案 C
[反思感悟] (1)本题解题的关键是抓住新定义中“对任意给定的等比数列{an}”这一条件将问题特殊化，即取特殊的等比数列an＝2n，可将问题迎刃而解． (2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决． 【自主体验】
S2n
1．设Sn为数列{an}的前n项和，若S(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等
n
比数列”；若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________.
n?c1＋cn?解析 由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝，前2n项和为S2n＝
22n?c1＋c2n?
22n?c1＋c2n?S2n2nd2
，所以S＝＝2＋＝2＋.因为数列{cn}是2n?c1＋cn?4＋nd－d4－dn
1＋nd
2“和等比数列”，即答案 4
2．(·肇庆二模)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( )． A．130 B．325 C．676 D．1 300
解析 设两个连续偶数为2k＋2和2k(k∈N*)，则(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，?，4×25，共计13个，其和为4×答案 C
1＋25
×13＝676. 2
S2n
为非零常数，所以d＝4. Sn
对应学生用书P293
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(·昆明调研)公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )． A．－20 B．0 C．7 D．40
解析 记等比数列{an}的公比为q(q≠1)，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，则1×[1－?－3?4]S4＝＝－20.
1＋3答案 A
2．若－9，a，－1成等差数列，－9，m，b，n，－1成等比数列，则ab＝( )． A．15 B．－15 C．±15 D．10
－9－1
解析 由已知得a＝2＝－5，b2＝(－9)×(－1)＝9且b<0，∴b＝－3，∴ab＝(－5)×(－3)＝15. 答案 A
3．(·德州模拟)数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是( )．
A．9 B．10 C．11 D．12
解析 因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1 025的最小n值是11. 答案 C
4．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差5
中项为4，则S5＝( )．
A．35 B．33 C．31 D．29
解析 设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知， a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.
55由a4与2a7的等差中项为4知，a4＋2a7＝2×4， 51?a711?1
∴a7＝2?2×4－a4?＝4.∴q3＝a＝8，即q＝2. ??4
1??
16?1－25???1
∴a4＝a1q3＝a1×8＝2，∴a1＝16，∴S5＝
1＝31. 1－2答案 C
5．(·兰州模拟)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋?＋f(2n)等于( )．
A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
解析 由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋?＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋?＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n. 答案 A 二、填空题
6．(·绍兴调研)已知实数a1，a2，a3，a4构成公差不为零的等差数列，且a1，a3，a4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________． 解析 设公差为d，公比为q.
则a2a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)， 3＝a1·a3a1＋2d1解得a1＝－4d，所以q＝a＝a＝2. 1
1
1答案 2
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 解析 每天植树棵数构成等比数列{an}，
a1?1－qn?
其中a1＝2，q＝2.则Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最
1－q少天数n＝6. 答案 6
8．(·山东省实验中学诊断)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}前n项之积，则A2 013＝________.
an－13－121解析 由a1＝3，an－anan＋1＝1，得an＋1＝a，所以a2＝3＝3，a3＝－2，
n
a4＝3，所以{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3＝－1，又2 013＝3×671，所以