A2 013＝(－1)671＝－1. 答案 －1 三、解答题
9．(·杭州模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式．
(2)令bn＝nan，n＝1,2，?，求数列{bn}的前n项和Tn. ?a1＋a2＋a3＝7，
?
解 (1)由已知，得??a1＋3?＋?a3＋4?
＝3a2，?2?
解得a2＝2.
2
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝q，a3＝2q. 2
又S3＝7，可知q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0， 1
解得q＝2或2.由题意得q＞1，所以q＝2.则a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1. (2)由于bn＝n·2n－1，n＝1,2，?， 则Tn＝1＋2×2＋3×22＋?＋n×2n－1， 所以2Tn＝2＋2×22＋?＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋23＋?＋2n－1－n×2n＝2n－n×2n－1， 即Tn＝(n－1)2n＋1.
10．(·湛江二模)已知函数f(x)＝x2－2x＋4，数列{an}是公差为d的等差数列，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)， (1)求数列{an}的通项公式；
1111(2)Sn为{an}的前n项和，求证：S＋S＋?＋S≥3.
1
2
n
(1)解 a1＝f(d－1)＝d2－4d＋7，a3＝f(d＋1)＝d2＋3， 又由a3＝a1＋2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n＋1. (2)证明 Sn＝
n?3＋2n＋1?
＝n(n＋2)， 2
1?111?1
?n－n＋2?， ＝＝
Snn?n＋2?2??111所以，S＋S＋?＋S 12n
1111111?1?1－＋－＋－＋?＋－＝2? 32435nn＋2???11?1?311?11?3
＝2?2－n＋1－n＋2?≥2?2－1＋1－1＋2?＝3. ????
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝( )． A．7 B．8 C．9 D．10 解析 设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 4
所以d＝－33a1<0.
?4?
解不等式an>0，即a1＋(n－1)?－33a1?>0，
??37
所以n<4，则n≤9，
当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0. 故当n＝9时，Sn取得最大值． 答案 C
2．已知f(x)＝bx＋1是关于x的一次函数，b为不等于1的常数，且g(n)＝?1，n＝0，?设an＝g(n)－g(n－1)(n∈N*)，则数列{an}为( )． ?f[g?n－1?]，n≥1，
A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列
解析 a1＝g(1)－g(0)＝f[g(0)]－g(0)＝b＋1－1＝b，当n≥2时，an＝g(n)－g(n－1)＝f[g(n－1)]－f[g(n－2)]＝b[g(n－1)－g(n－2)]＝ban－1，所以{an}是等比数列． 答案 B
二、填空题
1
3．(·湖南卷)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－2n，n∈N*，则 (1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋?＋S100＝________.
11
解析 (1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－2，得a1＝－4.当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn1111)－.当n为偶数时，S＝－，当n为奇数时，S＝S－nn－1n－1n
222n－12n＋1，从而S1＝111111－4，S3＝－16，又由S3＝2S2－24＝－16，得S2＝0，则S3＝S2＋a3＝a3＝－16. 11111
(2)由(1)得S1＋S3＋S5＋?＋S99＝－22－24－26－?－2100，S101＝－2102， 1111
又S2＋S4＋S6＋?＋S100＝2S3＋23＋2S5＋25＋2S7＋27＋?＋2S101＋2101＝0，故S11?1?＋S2＋?＋S100＝3?2100－1?.
??11?1?
答案 (1)－16 (2)3?2100－1?
??三、解答题
4．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)若bn＝an＋log2a，Sn＝b1＋b2＋?＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小
n
值．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有 ?2a1＋a3＝3a2，? ?a2＋a4＝2?a3＋2?，
2
?a1?2＋q?＝3a1q，即?32
?a1?q＋q?＝2a1q＋4，
①②
由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2. 当q＝1时，不合题意，舍去；
当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n. 故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)．
11n
(2)bn＝an＋log2a＝2＋log22n＝2n－n.
n所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋?＋2n－n ＝(2＋22＋23＋?＋2n)－(1＋2＋3＋?＋n) 2?1－2n?n?1＋n?11＝－2＝2n＋1－2－2n－2n2.
1－2因为Sn－2n＋1＋47<0，
11
所以2n＋1－2－2n－2n2－2n＋1＋47<0， 即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.
步骤规范练——数列 (对应学生用书P295) (建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(·济南模拟)在等差数列{an}中，a2＋a8＝4，则它的前9项和S9＝( )． A．9 B．18 C．36 D．72
9?a1＋a9?9×4解析 在等差数列中，a2＋a8＝a1＋a9＝4，所以S9＝＝2＝18.
2答案 B
2．(·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝( )． 5A．1 B．2 C．3 D.3 3?a1＋a3?3?a1＋6?
解析 在等差数列中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，所以解得d＝
222. 答案 B
3．(·长沙模拟)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝( )． 312
A.2 B.2 C.3 D．2
解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
3
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝2或－1(舍去)． 答案 A
4．(·宜山模拟)已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，则|a1－12|＋|a2－12|＋?＋|a8－12|＝( )． A．224 B．225 C．226 D．256
解析 由a2a4＝a23＝16，解得a3＝4，又a1＝1，
∴q2＝4，∴q＝2，∴an＝2n－1，令2n－1≥12，解得n的最小值为5.
∴|a1－12|＋|a2－12|＋?＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋a6－12＋a7－12＋a8－12
＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8) ＝－15＋240＝225. 答案 B
a2a3an5．(·陕西五校一模)如果数列a1，a，a，?，，?是首项为1，公比为－2
an－112的等比数列，则a5等于( )． A．32 B．64 C．－32 D．－64
a2a3a4a5an解析 易知数列a1，a，a，a，a，?，，?的通项为(－2)n－1，故a5＝
an－11234a2a3a4a5a1·a·a·a·a＝1×(－2)×2×(－22)×4＝32.
1
2
3
4
答案 A
6．(·安徽望江中学模拟)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝( )． A．5 B．6 C．5或6 D．6或7
解析 由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a1＋5d＝0，即a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大． 答案 C
7．(·荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是( )．