要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.
43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.
思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？
（答：1023495）
例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？
与上例题一样，有两种解法.
解一：从整除特征考虑.
这个七位数的最后一位数字显然是0.
另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.
1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：
1993500，1993320，1993680，
其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.
解二：直接用除式来考虑.
2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.
现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：
因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.
例7 下面这个41位数
能被7整除，中间方格代表的数字是几？
解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以
555555＝5×111111和999999＝9×111111
都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.
把55□99拆成两个数的和：
55A00＋B99，
其中□=A+B.
因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
注意，记住111111能被7整除是很有用的.
例8 甲、乙两人进行下面的游戏.
两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中
每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.
如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？
解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.
上面已经列出乙不能获胜的N的取值.
如果N＝1，很明显乙必获胜.
如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.
考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.
综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.
记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.
二、分解质因数
一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，?.一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，?.1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.
质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，?.
例9 ○＋（□+△）=209.
在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.
解：209可以写成两个质数的乘积，即
209＝11×19.
不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.
这个算式是 11×（17＋2）＝209，
11×（2＋17）＝ 209.
解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.
一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.
任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如
360＝2×2×2×3×3×5.
还可以写成360＝23×32×5.
这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.
例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？
解：我们先把5040分解质因数
5040＝24×32×5×7.
再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：
24×32×5×7＝7×8×9×10.
所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.
利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.
我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.
因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.
1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.