综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.
三、余数
在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：
65÷3＝21?? 2， 38÷5＝7?? 3.
上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是
被除数÷除数=商??余数.
上面两个算式可以写成
65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
也就是
被除数=除数×商+余数.
通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.
特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.
例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.
解：这个质数能整除
5397-15＝5382，
而 5382＝2×31997×13×23.
因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.
当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.
例18 求645763除以7的余数.
解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：
645763→15000→1000→6.
带余除法可以得出下面很有用的结论：
如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.
例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即
1000-967＝33＝3×11，
2001-1000＝1001＝7×11×13，
2001-967＝1034＝2×11×47.
这个整数是这三个差的公约数11.
请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.
例如，求出差1000-967与2001-1000，
那么差
2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
＝1001＋33
＝1034.
从带余除式，还可以得出下面结论：
甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.
例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.
例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？
解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：
从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为
1998＝ 8×249＋ 6，
所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.
一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
这十二个数构成一个循环.
按照七天一轮计算天数是
日，一，二，三，四，五，六.
这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6
的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.
循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.
下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：
甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.
例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.
1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.
例 21 191997被7除余几？
解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.
先写出一列数
2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，
2×2×2×2＝16，?.
然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：
事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）