从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，??因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.
1997＝ 3× 665 ＋ 2.
就知道21997被7除的余数，与21997 被 7除的余数相同，这个
余数是4.
再看一个稍复杂的例子.
例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：
0，1，3，8，21，55，?.
问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？
解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：
3＝1×3-0，
8=3×3-1，
21=8×3-3，
55=21×3-8，
??
不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：
将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.
用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：
注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.
从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.
70 ＝12×5+10.
因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.
例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
解：除以3余2的数有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23?.
它们除以12的余数是：
2，5，8，11，2，5，8，11，?.
除以4余1的数有：
1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，?.
它们除以12的余数是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，?.
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.
上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.
如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是
5＋ 12×整数，
整数可以取0，1，2，?，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件
合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.
例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
解：先列出除以3余2的数：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，?，
再列出除以5余3的数：
3， 8， 13， 18， 23， 28，?.
这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是
8＋15×整数，
列出这一串数是
8， 23， 38，?，
再列出除以7余2的数
2， 9， 16， 23， 30，?，
就得出符合题目条件的最小数是23.
事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
最后再看一个例子.
例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.
解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.
3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.
为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是
159， 160， 161.
注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？