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论问题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边”，顺利地引入新课，实现了从“现象”到“本质”的飞跃，培养了学生提出问题、分析问题、数学建模的能力。为寻求解决问题的普遍方法，对三角形的边角关系进行探索，在特殊情况（直角三角形）下得到正弦定理
abc，又在等边三角形和一般三角形中验证，坚定了结??sinAsinBsinC论成立的猜想，最后通过严格证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理问题迎仞而解。从而使学生亲身经历了“情境思考”—“提出问题”—“研究特例”—“归纳猜想”—“实验探究”—“理论探究”—“解决问题”—“反思总结”的历程，学会研究数学问题的方法，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐。在对具体的一般三角形验证
a?sinAb?siBnc成立的过程中，利用《几何画板》软件，不断变换sCin三角形，观察上式成立，提高了效率，现代教育技术的运用恰到好处。
21、余 弦 定 理
一、教学内容分析
人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问
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题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、设计思想
新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学目标
继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
五、教学重点与难点
教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
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六、教学过程： 教学环节
合作探究活动
学情分析与设计意
图
1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？ 知识 回顾旧知，防止遗abc2、三角形的正弦定理内容，主??sinAsinAsinC回顾 忘
要解决哪几类问题的三角形？
你能判断下列三角形的类型吗？
1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形 创设 引入
以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形 以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形 边长吗？
引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。 你能够有更好的具体的量化方法吗？
提出 帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法问题 等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学
生的积极讨论。
利用向量法推导余弦定理： A 学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角践进行检验。
2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c度看待问题，用实
引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。
学生对向量知识可能遗忘，注意复习；
如图：设CB?a,CA?b,AB?C,， 由三角形法则有c?a?b 合作
c?c?c?a?b?a?b2ba
c在利用数量积时，B 角度可能出现错
????C 误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发现问题，巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化
?a?a?b?b?2a?b探究 ?a2?b2?2abcosc即：△ABC中:c2?a2?b2?2abcosc同理，让学生利用相同方法推导，
a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2acosB
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思想：化未知为已知。
余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA 归纳概括
b2?a2?c2?2accosB c?a?b?2abcosC
222知识归纳比较，发现特征，加强识记
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现
b2?c2?a2余弦定理的推论：cosA?
2bca2?c2?b2a2?b2?c2cosB? cosC?
2ac2ab使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”
问题
结构分析
知识联系
解决“边、边、边”
问题
用准确的量化关系
方法
怎样准确地解答引入中的两个问题？
应用 怎样利用已知条件判断三角形的形状？
去解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。
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应用数学知识求解
问题加强计算器的
例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm， 运算功能，同时， A＝41°，求解三角形（角度精确到1°，边长精确知识巩固好正弦定理，
到1cm）
应用 例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c余弦定理知识，发
＝161.7cm，解三角形（角度精确到1′） 现两种知识方法在
解三角形中的综合应用。
继续深化正弦、余
例3：已知△ABC中a?3,b?3,sinA?知识深化
分析：（1）用正弦定理分析引导
6求c边长 弦定理，尤其是余3弦定理的方程思想
求解问题优越于余
（2）应用余弦定理a2?b2?c2?2bccosA构造弦定理。并让学生关于C的方程求解。 初步发现“边、边、
（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决角”问题解法，为的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。
下节学习辅垫。
1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离
d1与第二辆车的距离d2之间关系为（ ）
A：d1>d2 B：d1= d2 练习检测
C：d1< d2 D：大小不确定
用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结应用能力的培养。
2、锐角△ABC中b＝1，c＝2，则a取值为（ ） 构，加强数学知识A：（1,3） B：（1,3） C：（3，2） D：（3，5）
3、在△ABC中若有acosA?bcosB，你能判断这个三角形的形状吗？若acosB?bcosA呢？
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