2012高考物理二轮专题复习：电磁感应中“单、双棒”问题归类例析
王佃彬
一、单棒问题：
1.单棒与电阻连接构成回路：
例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab垂直导轨放置
（1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。
（2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位移x。
2、杆与电容器连接组成回路
例2、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？
3、杆与电源连接组成回路
例3、如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距l?0.5m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？
（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．
二、双杆问题：
b B d 1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度
L v0 例4、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距a
c
离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根
导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd
1
的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
例5、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系
例6、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
3、磁场方向与导轨平面不垂直
例7、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，
b B a ae和cf是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在
F 2 c 1 水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导
d 体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度e θ 为B，导轨间距为L，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m，f θ 电阻均为R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F作用在棒1上，
从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求：
（1）水平拉力F的大小；
（2）棒1最终匀速运动的速度v1的大小。
2
乙 甲 F a a/
e b c b/ g d d/ f c/ h
三、轨道滑模型
例8、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为m的金属棒PQ平行bc放在水平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B，导轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R，其余电阻均可不计，金属棒
PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求： (1)导轨在运动过程中的最大速度υm
(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm的过程中，流过PQ棒的总电量为q，则系统增加的内能为多少?
练习：
1、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m，上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，电阻r＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求： (1)杆ab的最大速度；
(2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.
2、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。 C
3、如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无
限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r的金属棒ab,从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段,圆弧段MN半径为R,所对圆心角为60°,求： （1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？ （2） cd棒能达到的最大速度是多大？ （3）ab棒由静止到达最大速度过程中,
a v0 b 3
系统所能释放的热量是多少？
4、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电乙 甲 阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属F 杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
电磁感应中“单棒、双棒”问题归类例析答案
一、单棒问题：
1.单棒与电阻连接构成回路： 例1.解析：（1）ab运动切割磁感线产生感应电动势E，所以ab相当于电源，与外电阻R构成回路。 ∴Uab=
R2R?RBLV?BLV
23（2）若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止。动能全部转化为电热。
Q?1mv?2mv2。由动量定理得：Ft?mv即BILt?mv，q?It∴q??BLxmvBL。q?It?3?3?，2RBL2R∴x?3mvR2B2L2。
2、杆与电容器连接组成回路
例2 .解析：ab在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增为v，a =v / t 产生感应电动势 E=Bl v
电容器带电量 Q=CE=CBl v，感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a 产生安培力F=BIl =CB2 l 2a，由牛顿运动定律 mg-F=ma ma= mg - CB2 l 2a ，a= mg / (m+C B2 l 2)
∴ab做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B2 l 2) 落地速度为 v?2ah?2mghm?CB2l23、杆与电源连接组成回路
例3．解析（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流
I0?ER?r?1.5A，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度4
a0?F0BI0L??6m/s2 mm'ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势E?Blv，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方
E?E'向，I?）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速
R?r度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势E与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：E?Bl?m?0
'E1.5?m/s=3.75m/s． Bl0.8?0.5（2）如果ab以恒定速度??7.5m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势
所以?m?E'?Blv?0.8?0.5?7.5V=3V
E'?E3?1.5?由于E＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：I?A=1.5A
R?r0.8?0.2''直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为
F'?BlI'?0.8?0.5?1.5N=0.6N
所以要使ab以恒定速度v?7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F?0.6N作用于ab． 上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于ab的恒力（F）的功率：P?Fv?0.6?7.5W=4.5W
②电阻（R +r）产生焦耳热的功率：P'?I2(R?r)?1.52?(0.8?0.2)W=2.25W
③逆时针方向的电流I，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：P?IE?1.5?1.5W=2.25W
由上看出，P?P?P，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）． 二、双杆问题：
1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度
例4．解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度
5
''''''b L a
v0 B d c