当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点O的距离s来描述。在运动过程中s是随时间t变化的，也就是说，s是t的函数：
s＝s（t）．
函数s（t）告诉我们的是这个物体什么时刻到达什么地方。形象一些说，假如物体是一列火车，则函数s（t）就是它的一张“旅行时刻表”。但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，我们还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念。例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等。
为了建立速率的概念，我们就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况。假设我们考虑的是从t＝t0到t＝t1的一段时间间隔，则这间隔的大小为
△t＝t1-t0．
根据s和t的函数关系s（t）可知，在t0和t1＝t0+△t两个时刻，s的数值分别为s（t0）和s（t1）＝s（t0+△t），即在t0到t1这段时间间隔里s改变了
△s＝s（t1）－s（t0）＝s（t0+△t）－s（t0）．
在同样大小的时间间隔△t里，若s的改变量△s小，就表明物体运动得慢，
举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A．4）式有
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所以
体在t＝t0时刻的瞬时速率v，即
对于匀变速直线运动来说，
这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A．5）。 （2）瞬时加速度
一般地说，瞬时速度或瞬时速率v也是t的函数：
v＝v（t）．
但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，我们还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念。
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类似。在直线运动中，首先取一段时间间隔t0到t1，根据瞬时速率v和时间t的函数关系v（t）可知，在t＝t0和t＝t1两时刻的瞬时速率分别为v（t0）和v（t1）＝v（t0+△t），因此在t0到t1这段时间间隔里v改变了
△v=v（t0+△t）-v（t0）．
举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A．5）式有
所以平均加速度为
时的极限，这就是物体在t＝t0时刻的瞬时加速度a：
（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A-5），于是各处渠底的高度h便是x的函数：
h=h（x）．
知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。
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在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念。譬如说，若逆水渠而上，渠底在100m的距离内升高了20cm，人们就说这水渠的坡度是
大小反映着高度随长度变化的快慢程度。如果用数学语言来表达，我们就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为x0和x1，于是这段水渠的长度为
△x＝x1-x0．
根据h和x的函数关系h（x）可知，在x0和x1=x0+△x两地h的数值分别为h（x0）和h（x1）＝h（x0+△x），所以在△x这段长度内h改变了
△h＝h（x0+△x）-h（x0）．
根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为
在前面所举的数字例子里，△x采用了100米的数值。实际上在100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同。为了更细致地把水渠在各处的坡度反
就愈能精确地反映出x=x0这一点的坡度。所以在x=x0这一点的坡度k应是△
2．3函数的变化率——导数
前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t，第三个例子中自变量是x．这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率”概念。
当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示。例如，当自变量x的数值由x0变到x1时，其增量就是
△x≡x1-x0． （A．25）
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与此对应。因变量y的数值将由y0＝f（x0）变到y1=f（x1），于是它的增量为
△y≡y1-y0=f（x1）－f（x0）＝f（x0+△x）－f（x0）．（A．26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比
可以叫做函数在x＝x0到x＝x0+△x这一区间内的平均变化率，它在△x→0时的极限值叫做函数y＝f（x）对x的导数或微商，记作y′或f′（x），
f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。
应当指出，函数f（x）的导数f′（x）本身也是x的一个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫做函数y＝f（x）
据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。
有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：
2．4导数的几何意义
在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。如图A-6所示，为了确定曲线在P0点的切线，我们先在曲线上P0附近选另一点P1，并设想P1点沿着曲线向P0点靠拢。P0P1的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐
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