例题4求y=x2ex的导数。
例题6求y＝tanx的导数。
例题7求y＝cos（ax＋b）（a、b为常量）的导数。 解：令v＝ax＋b，y＝u（v）＝cosv，则
例题9求y=x2e－ax2（a为常量）的导数。 解：令u＝ev，v＝－ax2，则
§4．微分和函数的幂级数展开
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4．1微分
自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量△x．用dx代表x的微分，则
dx=△x．（A．38）
一个函数y=f（x）的导数f′（x）乘以自变量的微分dx，叫做这个函数的微分，用dy或df（x）表示，即
dy≡df（x）≡f′（x）dx， （A．39）
一个整体引入的。当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分。在引入微分的概念之后，我们就可把导数看成微分dy与dx之商（所谓“微商”），即一个真正的分数了。把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四（A．37）
此公式从形式上看就和分数运算法则一致了，很便于记忆。
下面看微分的几何意义。图A-8是任一函数y＝f（x）的图形，P0（x0，y0）和P1（x0+△x，y0+△y）是曲线上两个邻近的点，P0T是通过P0的切线。直角三角形△P0MP1的水平边
的交点为N，则
但tan∠NP0M为切线P0T的斜率，它等于x=x0处的导数f′（x0），因此
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所以微分dy在几何图形上相当于线段MN的长度，它和增量
是正比于（△x）2以及△x更高幂次的各项之和[例如对于函数y=f（x）＝x3，△y＝3x2△x＋3x（△x）2＋（△x）3，而dy=f′（x）△x=3x2△x]．当△x很小时，（△x）2、（△x）3、?比△x小得多，
中的线性主部。这就是说，如果函数在x=x0的地方象线性函数那样增长，则它的增量就是dy．
4．2幂函数的展开
已知一个函数f（x）在x＝x0一点的数值f（x0），如何求得其附近的点x＝x0+△x处的函数值f（x）＝f（x0+△x）？若f（x）为x的幂函数xn，我们可以利用牛顿的二项式定理：
此式适用于任何n（整数、非整数、正数、负数，等等）。如果n为正整数，则上式中的级数在m＝n的地方截断，余下的项自动为0，否则上式为无穷级 数。不过当△x< 不要以为数学表达式愈精确愈好。譬如图A-9中A、B两点间的水平距离为l，若将B点竖直向上提高一个很小的距离a(a< 18 这是个精确的公式，但没有给我们一个鲜明的印象，究竟△l是随a怎样变化的。如果我们用二项式定理将它展开，只保留到最低级的非0项，则有 即△l是正比于a平方增长的，属二级小量。这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法，在物理学里是经常用到的。 4.3泰勒展开 非幂函数(譬如sinx、ex)如何作幂级数展开？这要用泰勒(Taylor)展开。下面我们用一种不太严格，但简单明了的办法将它导出。假设函数f(x)在x=x0处的增量△f=f(x)－f(x0)能够展成△x＝x－x0的幂级数： 则通过逐项求导可得 当x→x0时，m＞1的项都趋于0，于是有 f′(x0)＝a1 再次求导，得 当x→x0时，m＞2的项都趋于0，于是有 f(x0)＝2a2 如此类推，一般地说，对于m阶导数有 f(m)(x0)＝m！am 19 于是(A.42)式可以写为 如果定义第0阶导数f(0)(x)就是函数f(x)本身，则上式还可进一步简写为 (A.43)或(A.44)式称为泰勒展开式，它在物理学中是非常有用的公式。 下面在表A-3中给出几个常见函数在x0＝0或1处的泰勒展开式。 表A-3 常见函数的幂级数展开式 函数 展开式 收敛 范围 |x| ?1 |x| ?1 |x| ?1 |x|< 1 |x|<1 sinx 20 |x|<1 |x|<1 |x|<1 |x|<∞