∴ 有?m1p,v1,v??0???????3X0?1Y03Y?1?1?3?0 Z即 X+3Y+3Z=0.
???m2p,v2,v??5??X即 X-13Y-3Z=0. 得 X:Y:Z=30:6:-16
???36?0 Z又∵ 30:6:?16?0:3:?3, 即 v不平行v1.
30:6:?16?5:1:6, 即 v不平行v2. ∴ 所求直线方程为:
????x?4yz?1??. 153?8x?5yz?25??垂直相交的直线方程. 32?210. .求过点??2,1,0?且与直线l:?解 设所求直线的方向矢量为则所求直线l0可写为
v0??X,Y,Z?
?x?2y?1z?0??. XYZ直线l过点M?5，0，?25?,直线l的方向矢量v??3，2，?2?.
l0与l垂直，所以有v0?v?0.
∴ 3X+2Y-2Z=0 (1)
????l0与l相交，则有?MP,v,v0??3??X????302Y25?2?0. Z即 50X-69Y+6Z=0 (2) 由(1),(2)得 X:Y:Z?120:131:311 ∴所求直线l0为:
x?2y?1z??. 120131311§ 3.8 平面束
??x?5y?z?03.求通过直线?且与平面x?4y?8z?12?0成角的平面。
4?x?z?4?0解：设所求的平面为：?(x?5y?z)??(x?z?4)?0 则：?(???)?5??(?4)?(???)?(?8)(???)2?(5?)2?(???)212?(?4)2?(?8)2?2 2从而 ，?:??0:1或?4:3 所以所求平面为：x?z?4?0 或x?20y?7z?12?0 4.求通过直线
x?1y?2z且与点p(4,1,2)的距离等于3的平面。 ??02?3?x?1?0 ?3y?2z?2?0?解：直线的一般方程为：
设所求的平面的方程为?(x?1)??(3y?2z?2)?0， 据要求，有：
4??3??4????2???9??4?222?3
?有9(?2?13?2)?25?2?81?2?90??
? ?:???6:1或3:8
即所求平面为：?6(x?1)?(3y?2z?2)?0
或 3(x?1)?8(3y?2z?2)?0
即：6x?3y?2z?4?0或3x?24y?16z?19?0
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
?x?y2?z22、设柱面的准线为?，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
x?2z?1,0,?2? 解：由题意知：母线平行于矢量?任取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0的母线方程为：
?x?x0?t??y?y0?z?z?2t0?而M0在准线上，所以：
??x0?x?t? ?y0?y?z?z?2t?0?x?t?y2?(z?2t)2 ??x?t?2(z?2t)消去t，得到：4x?25y?z?4xz?20x?10z?0 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x?y?z?0：它与已知直线的交点为
222?0,0,0?,(?1,0,1),(1,?1,4)，这三点所定的在平面x?y?z?0上的圆的圆心为
333M0(?21113,?,)，圆的方程为： 1515152211213298??(x?)?(y?)?(z?)?15151575 ???x?y?z?0此即为欲求的圆柱面的准线。
1,1,1?的直线方程为： 又过准线上一点M1(x1,y1,z1)，且方向为??x?x1?t??y?y1?t?z?z?t1?将此式代入准线方程，并消去t得到：
??x1?x?t??y1?y?t ?z?z?t?15(x2?y2?z2?xy?yz?zx)?2x?11y?13z?0
此即为所求的圆柱面的方程。
§ 4.2锥面
2、已知锥面的顶点为(3,?1,?2)，准线为x?y?z?1,x?y?z?0，试求它的方程。 解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
222X?3Y?1Z?2 ??x?3y?1z?2令它与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使
?X0?3?(x?3)t??Y0??1?(y?!)t ?Z??2?(z?2)t?0将它们代入准线方程，并消去t得：
3x2?5y2?7z2?6xy?2yz?10xz?4x?4y?4z?4?0
此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
?圆锥的轴l与i,j,k等角，故l的方向数为1:1:1
?与l垂直的平面之一令为x?y?z?1
平面x?y?z?1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，该圆的圆心为(,111,)，故该圆的方程为： 33312121222??(x?)?(y?)?(z?)?()3333 ???x?y?z?1它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点M(x,y,z)，过M与顶点O的母线为：
XYZ?? xyz令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt，将它们代入准线方程，并消去t得：
xy?yz?zx?0
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为(1,2,4)，轴与平面2x?2y?z?0垂直，且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：
x?1y?2z?4 ??221过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为：
2(x?3)?2(y?2)?(z?1)?0
即： 2x?2y?z?11?0 该平面与轴的交点为(112037,,)，它与(3,2,1)的距离为： 999112037116d?(?3)2?(?2)2?(?1)2?
9993?要求圆锥面的准线为：
112202372116??(x?)?(y?)?(z?)?9999 ???2x?2y?z?11?0对锥面上任一点M(x,y,z)，过该点与顶点的母线为：
X?1Y?2Z?4 ??x?1y?2z?4令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?1?(x?1)t,Y0?2?(y?2)t,
Z0?4?(z?4)t
将它们代入准线方程，并消去t得：
51x2?51y?12z2?104xy?52yz?52zx?518x?516y?252z?1299?0
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
x?1y?1z?1xyz?1绕?旋转 ???1?121?12xyz?1xyz?1（2）；??绕?旋转 ?211?1?12x?1yz（3）??绕z轴旋转；
1?33（1）；
?z?x2?（4）空间曲线?2绕z轴旋转。 2??x?y?1解：（1）设M1(x1,y1,z1)是母线
x?1y?1z?1上任一点，过M1的纬圆为： ??1?12?(x?x1)?(y?y1)?2(z?z1)?0?222222?x?y?(z?1)?x1?y1?(z1?1)又M1在母线上。
(1)(2)