?x1?1y1?1z1?1 ??1?12从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
5x2?5y2?2z2?2xy?4yz?4xz?4x?4y?4z?8?0
此为所求的旋转面方程。
（2）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为：
?(x?x1)?(y?y1)?2(z?z1)?0?222222?x?y?(z?1)?x1?y1?(z1?1)因M1在母线上， ?(1)(2)
x1y1z1?1 (3) ??21?1从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
5x2?5y2?23z2?12xy?24yz?24xz?24x?24y?46z?23?0
此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过该点的纬圆为：
?z?z1?222222?x?y?z?x1?y1?z1又M1在母线上，所以：
(1)(2)
x1?1y1z1?? （3） 1?33从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
9(x2?y2)?10z2?6z?9?0
此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为：
?z?z1?222222?x?y?z?x1?y1?z1又M1在母线上，所以
2??z1?x1?22??x1?y1?1(1)(2)
(1)(2)
从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
x2?y2?1
?z?z1?x12?1?0?z?1
即旋转面的方程为：x?y?1 (0?z?1)
§4.4椭球面
2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x?4的距离的一半，试求此动点的轨迹。 解：设动点M(x,y,z)，要求的轨迹为?，则
22M(x,y,z)???(x?1)2?y2?z2?1x?42?3x2?4y2?4z2?12
x2y2z2即：???1
433此即为?的方程。
x2y2z23、由椭球面2?2?2?1的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，
abc设定方向的方向余弦分别为?,?,?，试证：
1?2?2?2??? r2a2b2c2证明：沿定方向{?,?,?}到曲面上一点，该点的坐标为{r?,r?,r?}
?该点在曲面上
r2?2r2?2r2?2?2?2?2?1
abc1?2?2?2即2?2?2?2 rabcx2y2z24、由椭球面2?2?2?1的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面p1,p2,p3，
abc设op1?r1,op2?r2,op3?r3，试证：
111111????? r12r22r32a2b2c21?i2?i2?i2证明：利用上题结果，有2?2?2?2riabc(i?1,2,3)
????其中?i,?i,?i是opi的方向余弦。
????若将opi(i?1,2,3)所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则?1,?2,?3是坐标矢量关于
?1??2??3?1，?1??2??3?1 新坐标系的方向余弦，从而?1??2??3?1，同理，
所以，
222222222111111222222222???(?????)?(?????)?(?????123123123)222222r1r2r3abc?111??a2b2c2111111????? r12r22r32a2b2c2
即：
§ 4.5双曲面
x2y2z23、已知单叶双曲面试求平面的方程，使这平面平行于yoz面（或xoz面）???1，
494且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为x?k，则该平面与单叶双曲面的交线为：
?x2y2z2??1??（*） ?4 94?x?k??y2z2k2???1?亦即 ?944
?x?k?k2?0，即k??2 为使交线（*）为二相交直线，则须：1?4所以，要求的平面方程为：x??2
同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：y??3 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面x?1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解：设动点M(x,y,z)，所求轨迹为?，则
M(x,y,z)???(x?4)2?y2?z2?2x?1?(x?4)2?y2?z2?4(x?1)2
x2y2z2???1 亦即：?41212此为?的轨迹方程。
x2y2z2???1与平面x?2z?3?0的交线对xoy平面的射影柱面。 5、试求单叶双曲面
1645解：题中所设的交线为：
?x2y2z2??1?? 5?164?x?2z?3?0?从此方程中消去z，得到：
x2?20y2?24x?116?0
此即为要求的射影柱面方程。
§ 4.6抛物面
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹； （2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为2a，夹角为2?。 解：（1）取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为
(0,0,a)，而定平面即为z?0，设比值常数为c，并令所求的轨迹为?，则
点M(x,y,z)??22222?x2?y2?(z?a)2?c
z即x?y?(1?c)z?2az?a?0
此为的方程。
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
?y?tg??x?0 与 ?z?a?设所求的轨迹为?，则
?y?tg??x?0 ?z??a?yM(x,y,z)???tg?z?a02?z?a0x12?xy21tg?
1?tg2?yz?a02?即
?tg??z?a0x12?xy21?tg?1?tg2?：
tg2??(z?a)2?(z?a)2?(xtg??y)2?tg2??(z?a)2?(z?a)2?(x??y)2
经同解化简得：z?sin?cos?xy a此即所要求的轨迹方程。
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
x2y23、在双曲抛物面??z上，求平行于平面3x?2y?4z?0的直母线。
164x2y2解：双曲抛物面??z的两族直母线为：
164?xy???42??u(x???4?xy???42 及 ?y?v(x?)?z?2?4?u?vy)?z2
第一族直母线的方向矢量为：{2,?1,u} 第二族直母线的方向矢量为：{2,1,v} 据题意，要求的直母线应满足：
2?3?2?4u?0?u?12?3?2?4v?0?v?2要求的直母线方程为：
?x???4??x???45、求与两直线
y?12 及 y?z2?x???4??x???4y?22 yz?22x?6yz?1xy?8z?4与?相交，而且与平面2x?3y?5?0平???32132?21行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于(x0,y0,z0),(x1,y1,z1)，则
x0?6y0z0?1x1y1?8z1?4????， 32132?21又动直线与平面2x?3y?5?0平行，所以，2(x0?x1)?3(y0?y1)?0
x?x0y?y0z?z0??对动直线上任一点M(x,y,z)，有：
x1?x0y1?y0z1?z0x2y2??4z 从（1）——（4）消去x0,y0,z0,x1,y1,z1，得到：94