（2）由题设可知：，
令bn=lgan=nlgq+lga1﹣lgq，
∴数列{lgan}是lga1为首项、lgq为公差的等差数列， 若
为定值，令
（定值），
则，
即{[（k+1）﹣pk]lgq}n+[（k+1）﹣pk]（∵q≠1，q＞0， ∴（*）式等价于
，
22
）lgq=0对n∈N恒成立 （*）
*
∴
*
，将其代入（k+1）﹣pk=0，得：p=0或p=1，
，
∵k∈N，∴p＞0且p≠1，∴∵an＞0，∴q＞0， ∴
．
点评： 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中
档题．
20．（14分）已知a＞0，a≠1，f（x）=x﹣ak，g（x）=x﹣a． （1）若方程loga
f（x）
2
2
=loga
有解，求k的取值范围；
（2）若函数h（x）满足：h'（x）=g（x）﹣kf（x），求当a=2时函数h（x）的单调区间．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用． 专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： （1）根据已知条件得到，由②便可得到2kx=a（1+k），
2
容易说明k≠0，从而可解出x，带入①便可得到关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围；
22
（2）容易求出a=2时，h′（x）=x﹣kx+2k﹣4，要判断h（x）的单调性，显然需要判断h′（x）的符号，从而需讨论△的取值：△≤0时，h′（x）≥0，从而得到h（x）此时在R上单调递增，△＞0时，可设h′（x）=0的两根为x1，x2，这时候即可判断h′（x）的符号，从而判断出此时h（x）的单调性．
解答： 解：（1）由题意得：；
易知①③成立时，②显然成立，所以只需解①③；
2
由③得：2kx=a（1+k）④； 当k=0时，由a＞0知④无解； 所以k≠0，
，代入①得：
??；
解得k＜﹣1，或0＜k＜1；
∴k的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
22
（2）a=2时，h′（x）=g（x）﹣kf（x）=x﹣kx+2k﹣4；
2
△=16﹣7k； 当k
，或
时，△≤0，h′（x）≥0恒成立；
∴h（x）在R上单调递增； 当
时，△＞0；
令h′（x）=0得，；
∴h（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在[x1，x2]上单调递减．
点评： 考查对数中的真数大于0，解分式不等式，以及判别式和二次函数取值的关系，函数导数符号和函数单调性的关系，并且要熟悉二次函数的图象．
21．（14分）已知双曲线E：
=1（a＞2）．
（1）若E的离心率为，求E的方程；
（2）设E的左、右焦点为F1、F2，点P为双曲线上的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，当a变化时，若点P是第一象限内的点，则点P在某一条定直线上吗？如果这条定直线存在，请求出直线方程；如果不存在这条定直线，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）利用双曲线的离心率，解得a=3，然后求出椭圆E的方程．
222
（2）假设这条定直线存在．设P（x，y）、Q（0，yQ），利用F1P⊥F1Q，推出x﹣y=2a﹣4，与双曲线方程联立，然后求出直线方程．
解答： （1）解：解得：a=9…（3分） ∵a＞0，∴a=3…（4分） E：
…（5分）
2
，…（2分）
（2）解：假设这条定直线存在． 设P（x，y）、Q（0，yQ），而
，F1（﹣c，0）、F2（c，0）
由P、F2、Q三点共线知
，…（6分）
即，…（7分）
所以=（x+c，y），=…（8分）
因为F1P⊥F1Q，所以
2
2
2
2
2
2
=，…（9分）
故x﹣y=c，即x﹣y=2a﹣4，…（10分）
与双曲线方程联立得：
解得，，…（12分）
若点P为第一象限内的点，则x＞0，y＞0， 所以
，
，…（13分）
∴x﹣y=2，
即点P在定直线x﹣y=2上．…（14分）
点评： 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．