2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国III）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
221．已知集合A?(x,y)x?y?1，B??(x,y)y?x?，则A?B中元素的个数为（）
??A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B
【解析】A表示圆x2?y2?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，
故A?B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A?B元素的个数为2，故选B.
2．设复数z满足(1?i)z?2i，则z?（） 1A．
2【答案】C
B．2 2
C．2
D．2
【解析】由题，z?2i?1?i?2i2i?2???i?1，则z?12?12?2，故选C. 1?i?1?i??1?i?2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2014年 2015年 2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.
4．(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为（）
A．??? B．??? C．40 D．80 【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x3y3的项为
23x?C5?2x???y??y?C5?2x???y??40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C.
2332
x2y2x2y255．已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y?x，且与椭圆??1有
2ab123公共焦点．则C的方程为（）
x2y2x2y2x2y2x2y2A．?B．?C．?D．??1 ?1 ?1 ?1
810455443【答案】B
b55x，则?【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y?①
a22x2y2?1与双曲线有公共焦点，易知c?3，则a2?b2?c2?9② 又∵椭圆?123x2y2 ?1，故选B. 由①②解得a?2,b?5，则双曲线C的方程为?45
π6．设函数f(x)?cos(x?)，则下列结论错误的是（）
3A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x??)的一个零点为x?【答案】D
?【解析】函数f?x??cos?x?? π 6
B．y?f(x)的图像关于直线x?
πD．f(x)在(,π)单调递减
28π对称 3π?π?的图象可由y?cosx向左平移个单位得到， 3?3?π?如图可知，f?x?在?,π?上先递减后递增，D选项错误，故选D.
?2?y ??? ?????x-O?6?7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
t S M
0 100 1 初始状态
?10 100 2 第1次循环结束
90 1 3 第2次循环结束
此时S?90?91首次满足条件，程序需在t?3时跳出循环，即N?2为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
3πππA．π B． C． D．
２44【答案】B
3?1?【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r?1????，
2?2?3π2则圆柱体体积V?πrh?，故选B.
422
9．等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为（）
A．?24 B．?3 C．3 D．8 【答案】A
【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.
2?a2?a6，即?a1?2d???a1?d??a1?5d? 则a32又∵a1?1，代入上式可得d2?2d?0 又∵d?0，则d??2
6?56?5d?1?6????2???24，故选A. ∴S6?6a1?22x2y210．已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与
ab直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为（）
1632 B． C． D．
333３【答案】A
【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx?ay?2ab?0相切，∴圆心到直线距离d等于半径，
2ab?a ∴d?22a?b又∵a?0,b?0，则上式可化简为a2?3b2
A．c22∵b?a?c，可得a?3a?c，即2?
a3c6∴e??，故选A
a32222?22?
11．已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a?（）
111A．? B． C．
２23【答案】C
【解析】由条件，f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)，得：
f(2?x)?(2?x)2?2(2?x)?a(e2?x?1?e?(2?x)?1)?x2?4x?4?4?2x?a(e1?x?ex?1) D．1
?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)∴f(2?x)?f(x)，即x?1为f(x)的对称轴， 由题意，f(x)有唯一零点，
∴f(x)的零点只能为x?1， 即f(1)?12?2?1?a(e1?1?e?1?1)?0，
1解得a?．
2
12．在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若
???AP??????AB??????AD?，则???的最大值为（） A．3 B．22 C．5
D．2
【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设BD与?C切于点E，连接CE． 以A为原点，AD为x轴正半轴， AB为y轴正半轴建立直角坐标系， 则C点坐标为(2,1)． ∵|CD|?1，|BC|?2．
∴BD?12?22?5． ∵BD切?C于点E． ∴CE⊥BD．
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．
2?1?|BC|?|CD|EC|?2S|△BCD22BD|?2|BD|?5?55 |即?C的半径为255． ∵P在?C上．
yPg∴P点的轨迹方程为
(x?2)2?(y?1)2?45． BC设P点坐标(x0,y0)，可以设出P点坐标满足
数方程如下：
E?Dx??x0?2?25cos?A(O) ?5???y0?1?255sin?而???AP??(x??? ?????0,y0)，AB?(0,1)，AD?(2,0)． ∵???AP??????AB??????AD???(0,1)??(2,0)?(2?,?) ∴??12x?1?5205cos?，??y0?1?55sin?． 两式相加得：
????1?255sin??1?55cos??2?(255)2?(55)2sin(???)?2?sin(???)≤3 参
的