(其中sin??当且仅当??
255) ，cos??55π?2kπ??，k?Z时，???取得最大值3． 2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
?x?y≥0,?13．若x，y满足约束条件?x?y?2≤0,则z?3x?4y的最小值为________．
?y≥0,?【答案】?1
【解析】由题，画出可行域如图：
3zx?纵截距越大，z值越小． 44由图可知：z在A?1,1?处取最小值，故zmin?3?1?4?1??1．
目标函数为z?3x?4y，则直线y? x?y?2?0yA(1,1)Bx
(2,0)x?y?014．设等比数列?an?满足a1?a2??1，a1?a3??3，则a4?________． 【答案】?8
【解析】??an?为等比数列，设公比为q．
??a1?a2??1?a1?a1q??1①，即?， ?2a?aq??3②??a1?a3??3?11显然q?1，a1?0， ②得1?q?3，即q??2，代入①式可得a1?1， ①?a4?a1q3?1???2???8．
?x?1,x≤0,115．设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是________．
2?2,x?0,?1?【答案】??,???
?4??x?1,x≤01?1???fx?fx??1fx??fx?????【解析】，，即??x????1?f?x?
22????2 ,x?0?1??由图象变换可画出y?f?x??与y?1?f?x?的图象如下：
2??3 y1y?f(x?)211(?,)44?1?2??12
x y?1?f(x)1???1?由图可知，满足f?x???1?f?x?的解为??,???.
2???4?
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角； ②当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角； ③直线AB与a所成角的最小值为45?； ④直线AB与a所成角的最大值为60?．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③
【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|?1，AB?2，
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
????????以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向， ????CA为z轴正方向建立空间直角坐标系． 则D(1,0,0)，A(0,0,1)，
??直线a的方向单位向量a?(0,1,0)，|a|?1． B点起始坐标为(0,1,0)，
??直线b的方向单位向量b?(1,0,0)，|b|?1． 设B点在运动过程中的坐标B?(cos?,sin?,0)， 其中?为B?C与CD的夹角，??[0,2π)．
????那么AB'在运动过程中的向量AB??(?cos?,?sin?,1)，????|AB?|?2．
?????π设AB?与a所成夹角为??[0,]，
2(?cos?,?sin?,1)?(0,1,0)22cos???|sin?|?[0,]． ?????则22aAB?ππ故??[,]，所以③正确，④错误．
42?????π设AB?与b所成夹角为??[0,]，
2?????AB??bcos???????bAB???(?cos?,sin?,1)?(1,0,0).
?????bAB?2|cos?|2?????π当AB?与a夹角为60?时，即??，
3?12sin??2cos??2cos?2?．
322∵cos2??sin2??1，
2． 221|cos?|?． ∴cos??22π∵??[0,]．
2?????π?=∴，此时AB?与b夹角为60?．
3∴②正确，①错误．
∴|cos?|?
三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考
生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）
?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA?3cosA?0，a?27，b?2． （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积．
π??【解析】（1）由sinA?3cosA?0得2sin?A???0，
3??π即A??kπ?k?Z?，又A??0,π?，
3π2π. ∴A??π，得A?331As??代入并整理得由余弦定理a2?b2?c2?又∵a?27,b?2,co2bcc?os.A22，故c?4. ?c?1??25（2）∵AC?2,BC?27,AB?4， a2?b2?c227. ?由余弦定理cosC?2ab7∵AC?AD，即△ACD为直角三角形， 则AC?CD?cosC，得CD?7. 由勾股定理AD?又A?CD?AC?3.
22S△ABD2π2πππ??， ，则?DAB?33261π?AD?AB?sin?3. 26
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于
25?，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购区间?20，计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 15? ?10，2 20? ?15，16 25? ?20，36 30? ?25，25 35? ?30，7 40? ?35，4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500
2?161P?X?200???
30?35362P?X?300???
30?3525?7?42P?X?500???.
30?35 则分布列为： X P
200 300 500 1 52 52 5
⑵①当n≤200时：Y?n?6?4??2n，此时Ymax?400，当n?200时取到.
41200?2??n?200????2??②当200?n≤300时：Y??2n??? 55?8800?2n6n?800?n?? 555 此时Ymax?520，当n?300时取到. ③当300?n≤500时，
122Y??200?2?n?200??2?300?2?n?300??2???? ?????????5??5?n?2 5?3200?2n?
5 此时Y?520.
④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况.
综上所述：当n?300时，Y取到最大值为520.
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形．?ABDAB=BD． D（1）证明：平面ACD^平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体
EABCD分成体积相等的两部分．求二面角D-AE-C的
C余弦值．
【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO；
??ABC为等边三角形 ∴BO?AC A∴AB?BC D ?AB?BC???ABD??CBD. ?BD?BDE??ABD??DBC?C∴AD?CD,即?ACD为等腰直角三角形，?ADC 为直角又O为底边AC中点 ∴DO?AC
令AB?a，则AB?AC?BC?BD?a 易得：OD?22?CBD，
BOBA23a，OB?a 222∴OD?OB?BD
由勾股定理的逆定理可得?DOB??2
即OD?OB
?OD?AC?OD?OB???AC?OB?O?OD?平面ABC ?AC?平面ABC???OB?平面ABC又∵OD?平面ADC
由面面垂直的判定定理可得平面ADC?平面ABC ⑵由题意可知VD?ACE?VB?ACE 即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点
????????以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方
????向，OD为z轴正方向，设AC?a，建立空间直角坐标系，
z DCOEBAxy???a?33a??a??0,a,0E0,则O?0,0,0?，A?,0,0?，D?0,0,?，B?，???2??4a,4?? 2??2????????a?????a3a??????aa?????AD??,0,OA??,0,0? AE??,a,易得：，，?????244?2??2?2???