点评： 本题要熟悉中位线的性质及相似三角形的判定及性质，牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．
19、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。若S=2，则S1+S2=
20、（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠M=∠CBM， ∵BQ是∠CBP的平分线， ∴∠PBM=∠CBM， ∴∠M=∠PBM， ∴BP=PM， ∴EP+BP=EP+PM=EM， ∵CQ=CE， ∴EQ=2CQ， 由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ， ∴=
=2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12． 故答案为：12．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构
造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
21、（13年北京4分、11）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________
答案：20
解析：由勾股定理，得AC＝13，因为BO为直角三角形斜边上的中线，所以，BO＝6.5，由中位线，得MO＝2.5，所以，四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
22、（2013安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理． 分析：从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE=BC， 又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形， 又∵BE=FE， ∴四边形BCFE是菱形； （2）解：∵∠BCF=120°， ∴∠EBC=60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为4×2=8．
点评：本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点． 23、（2013?恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．
考点：菱 形的判定；梯形；中点四边形． 专题：证 明题． 分析：连 接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可． 解答：证 明：如图，连接AC、BD， ∵AD∥BC，AB=CD， ∴AC=BD， ∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴在△ABC中，EF=AC， 在△ADC中，GH=AC， ∴EF=GH=AC， 同理可得，HE=FG=BD， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH为菱形．
点评：本 题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点．
24、（2013?常德压轴题）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
考点：三 角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析：（ 1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可； 证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可， （2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线； 解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME； 证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，
根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可． 解答：（ 1）证法一： 如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD， ∴点B为线段AD的中点， 又∵点M为线段AF的中点， ∴BM为△ADF的中位线， ∴BM∥CF． 证法二： 如答图1b，延长BM交EF于D， ∵∠ABC=∠CEF=90°， ∴AB⊥CE，EF⊥CE， ∴AB∥EF， ∴∠BAM=∠DFM， ∵M是AF的中点， ∴AM=MF， ∵在△ABM和△FDM中， ， ∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB=DF， ∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF， ∴BE=DE， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠EBM=45°， ∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°， ∴∠EBM=∠ECF，