∴MB∥CF； （2）解法一： 如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a， ∴点B为AD中点，又点M为AF中点， ∴BM=DF． 分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a， ∴点E为FG中点，又点M为AF中点， ∴ME=AG． ∵CG=CF=∴AG=DF=a，CA=CD=a， a=a． a， ∴BM=ME=×解法二： ∵CB=a，CE=2a， ∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a， ∵△ABM≌△FDM， ∴BM=DM， 又∵△BED是等腰直角三角形， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BM=ME=BE=a； （3）证法一： 如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD，AC=CD， ∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=EG，CF=CG， ∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG． 在△ACG与△DCF中， ， ∴△ACG≌△DCF（SAS）， ∴DF=AG， ∴BM=ME． 证法二： 如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE， ∵∠BCE=45°， ∴∠ACD=45°×2+45°=135° ∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°， ∴AB∥CF， ∴∠BAM=∠DFM， ∴M是AF的中点， ∴AM=FM， 在△ABM和△FDM中，∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB=DF，BM=DM， ，
∴AB=BC=DF， ∵在△BCE和△DFE中， ， ∴△BCE≌△DFE（SAS）， ∴BE=DE，∠BEC=∠DEF， ∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 又∵BM=DM， ∴BM=ME=BD， 故BM=ME． 点评：本 题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．