高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
命题及其关系、充分条件与必要条件
考点与要求 1．了解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 知识与方法梳理 一、基础知识
A．命题 1．命题
可以判断 真假 的陈述句，叫做命题．
注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．
（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．
例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③2x?1?3；④若a?b，c?d，则a?c?b?d．
以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当x?1时，为真；当x?1时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．
2．假命题、真命题
真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．
假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．
注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握） （1）开句、命题函数
形如“2x?1?3”、“x?3?2”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．
开句常记作P(x)、Q(y)，其中变元x,y是在一定范围里变化.当x取某个个体a时，开句P(x)就变成了命题P(a)（与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“x?3?2”而言，当x??1时，为真；当x??1时，为假．
（2）开句的取真集
对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“x?3?2”而言，“”时为真，“”时为假.使开句P(x)取真的x的范围叫做的取真集，记作{x|P(x)}．对开句来说，取真集为{x|x?3?2}?{x|x??1}．
解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集． （3）将命题函数P(x)变成命题 命题函数P(x)变成命题的方法有两个．
方法一：将命题函数P(x)中的x用特殊个体a代入，从而得到对特殊个体a进行判断的命题，这种命题叫做单称命题P(a)． 例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．
再如，命题函数P(x):x?3?2，对x赋值1,?3，可得到命题P(1)和P(?3)，即P(1):1?3?2，和P(?3):(?3)?3?2． 当然P(1)是真命题，P(?3)是假命题． 方法二：利用量词来限制个体的范围
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例如：命题函数P(x):x?3?2，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数x都有x?3?2”或“有实数x使x?3?2” ． 前者是假命题，后者是真命题．
3．命题的形式 若p，则q．
其中p叫做命题的条件（或题设），q叫命题的结论．
注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．
B．四种命题及其关系
1．四种命题及其关系
（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题. （2）设原命题为：“若p，则q”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下： 逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q，则p”． 否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若?p，则?q”． 逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若?q，则?p”．
延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）
当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．
当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位臵，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“A：垂直于弦”、“B：过圆心”；结论也有两个：“C：平分这条弦”、“D：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：A?B?C?D，该命题的所有偏逆命题有：
A?C?B?D：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧； A?D?B?C：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦； B?C?A?D：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧； B?D?A?C：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．
2．四种命题的真假关系
（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．
（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题． 具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题． 具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题． （3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．
注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．
（4）不等价关系：两命题的真假性 没有关系 ． 互逆命题 、 互否命题 不等价． C．充分条件与必要条件
记命题“若p，则q”为“q?p”，若命题“若p，则q”为真，则进一步记作“p?q”，为假时，则记作p??q．
1．基本概念
（1）若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（2）若p?q，且p??q，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． （3）若p?q，且p?q，则称p是q的充要条件，这时，q也是p的充要条件．
（4）若p??q，且p??q，则称p是q的不充分不必要条件，这时，q也是p的不充分不必要条件．
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注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．
（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．
2．对“充分条件”与“必要条件”的理解 （1）从定义本身去理解
充分条件：要使结论q成立，只要具备条件p就足够了．
事实上，式子p?q已经表明，条件p成立时，结论q一定成立，就是说，要使结论q成立，只要具备条件p就足够了．
必要条件：当条件q成立时，结论p不一定成立，但条件q不成立时，结论p一定不成立.
依题意，条件为q、结论为p．
一方面，虽然命题“p?q”为真，但其逆命题“q?p”却未必为真，因此，当条件q成立时，结论p不一定成立． 另一方面，命题“p?q”为真，从而其逆否命题“?q??p”也真，即?q??p，据此可知，条件q不成立时，结论p一定不成立．
（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”
B A A A B A C B B C C
③ ④ ② ①
视“开关A的闭合”为条件p，“灯泡B亮”为结论q，则
图①中，条件p是结论q的 条件． 充分不必要条件（p?q,p??q） 图②中，条件p是结论q的 条件． 必要不充分条件（p??q,p?q） 图③中，条件p是结论q的 条件． 充要条件（p?q,p?q）
图④中，条件p是结论q的 条件． 不充分不必要条件（p??q,p??q）
（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”
设条件p对应集合A，条件q对应集合B，即p:A?{x|p(x)}，q:B?{x|q(x)}． ①若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件．
?事实上，若有x?A，∵A?B，可得x?B，即p?q，∴p是q的充分条件． 若有x?A，∵A?B，可得x?B，p?q且p??q，∴p是q的充分不必要条件．
?②若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件．
?事实上，若有x?A，∵A?B，可得x?B，即p?q，∴q是p的必要条件． 若有x?A，∵A?B，可得x?B，p?q且p??q，∴p是q的必要不充分条件．
?③若A?B，则p与q互为充要条件．
事实上，若有x?A，∵A?B，可得x?B，即p?q，若有x?B，∵A?B，可得x?A，即q?p，∴p、q互为充要条件．
④若A?B且B?A，则p是q的既不充分条件也不必要条件．
事实上，若有x?A，∵A?B，可得x?B，即p??q，同理p??q，p是q的既不充分也不必要条件．
二、基本思想方法 等价转化的思想
示例 已知p:|1?
x?1|?2，q:x2?2x?1?m2?0(m?0)，若?p是?q的充分不必要条件，33
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求实数m的取值范围．
解：由|1?x?122|?2得，A?{x|?2?x?10}．由x?2x?1?m?0(m?0)得，B?{x|1?m?x?1?m,m?0}． 3∵q?p，∴B?A．
?1?m?2,?结合数轴有?1?m?10, 解得0?m?3．
?m?0.?点评与警示：本题利用等价转化思想，把?p??q转化为q?p，进一步转化为B是A的子集，然后利用数轴列出不等关系．
题型示例 A．命题的判断、命题的真假判断
例 判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的真子集； 命题；假命题． （2）三角函数是单调函数吗？ 疑问句，不是命题．
（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 命题；假命题． （4）x?3； 开句，不是命题．
（5）若x?R，则2x2?x?1?0； 命题；真命题（∵二次三项式2x?x?1的判别式???7?0，在x?R条
2件下，始终有2x2?x?1?0）．
（6）若整数a是素数，则a是奇数；命题；假命题（∵a?2时，由条件推不出结论）． （7）(?2)2??2． 命题；假命题．
点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．
B．命题的形式
例 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． （1）周长相等的两个三角形面积相等； （2）偶数能被2整除；
（3）奇函数的图象关于原点对称； （4）同弧所对的圆周角不相等； （5）菱形对角线互相平分；
（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （7）负数的立方是负数； （8）对顶角相等．
解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等． 假命题． （2）若一个数是偶数，则它能被2整除． 真命题．
（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称． 真命题． （4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等． 假命题． （5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分． 真命题． （6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题． （7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数． 真命题. （8）若两个角是对顶角，则这两个角相等． 真命题． 选填②
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C．四种命题的概念
例 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题. （1）当x?2时，x2?3x?2?0； （2）对顶角相等；
（3）等底等高的两三角形全等；
（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．
解：（1）原命题：若x?2，则x2?3x?2?0． 逆命题：若x2?3x?2?0，则x?2． 否命题：若x?2，则x2?3x?2?0． 逆否命题：若x2?3x?2?0，则x?2． （2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角． 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角． （3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等. 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等. 否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等. 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等． （4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等． 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等． 否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等． 点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．
D．四种命题之间的关系
例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假． （1）垂直于平面?内无数条直线的直线l垂直于平面?； （2）若q?0，则方程x2?x?q?0有实根； （3）若x2?y2?0，则x?y?0； （4）菱形对角线垂直且相等．
解：（1）原命题：若直线l垂直于平面?内无数条直线，则直线l垂直于平面?． 假命题. 逆命题：若直线l垂直于平面?，则直线l垂直于平面?内无数条直线． 真命题. 否命题：若直线l不垂直于平面?内无数条直线，则直线l不垂直于平面?． 真命题． 逆否命题：若直线l不垂直于平面?，则直线l不垂直于平面?内无数条直线． 假命题． （2）逆命题： 若方程x2?x?q?0有实根，则q?0． 假命题． 否命题：若q?0，则方程x2?x?q?0无实根． 假命题． 逆否命题：若方程x2?x?q?0无实根，则q?0． 假命题． （3）逆命题：若x?y?0，则x2?y2?0． 真命题．
否命题：若x2?y2?0，则x,y中至少有一个不为0． 真命题． 逆否命题：若x,y中至少有一个不为0，则x2?y2?0． 真命题． （4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形． 假命题． 否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等． 假命题． 逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形． 假命题．
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