高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
E．利用等价命题证明
例 证明：若x2?y2?0，则x?y?0.
分析：将“若x2?y2?0，则x?y?0”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0，则
x2?y2?0”为真命题．
证明：若x,y中至少有一个不为0，不妨设x?0，则x2?0，∴x2?y2?0，即x2?y2?0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
F．充要条件的判定
例 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）p:a?b?2，q:直线x?y?0与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切． （2）p:|x|?x，q:x2?x?0．
（3）设l,m均为直线，?为平面，其中l??，m??，p:l//?，q:l//m． ????????（4）设????,?，????,?，q:???，q:tan??tan?．
?22??22?（5）△ABC中，内角A,B对边的长分别为a,b，p:a?b， q:sinA?sinB．
解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件．
G．由充分条件、必要条件求参数取值范围
2n?3?1已知条件p:n条件q:x2?x?a2?a，且?p是?q的一个充分不必要条件，则a的?0，
2?2取值范围是
111A．[?2,?] B．{,2} C．[?1,2] D．(?2,]?[2,??)
222解：不等式
?(2x?3?1)(2x?2)?0,1?2n?3?1等价于即?2x?2，解得?3?x?1，∴条件p对应的取值集合M?[?3,2)． ?0?xn2?2?0,82?2??由x2?x?a2?a，得(x?a)[x?(a?1)]?0． 当?a?a?1，即a?1时，解集为(?a,a?1)，这时条件q对应的取值集合N?(?a,a?1)； 21时，解集为?，这时N??； 21时，解集为N?(a?1,?a)． 2当?a?a?1，即a?当?a?a?1，即a?∵?p是?q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，从而条件q对应的取值集合N是条件p对应的取值集合M的真子集．
当a?1时，N?(?a,a?1)，由N21时，N??，显然有N2??3??a,1解得?a?2； M，得?2?1?a?1,当a?M；
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当a?1时，N?(a?1,?a)，由N2??3?a?1,1解得?1?a?． M，得?2?1??a,综上，a的取值范围是[?1,2]． 答案：C．
H．错解剖析
写出命题“若a?b，c?d，则a?c?b?d”的否命题和逆否命题． 否命题是： ． 逆否命题是： ．
错解：否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b，c与d都不相等，则a?c?b?d． 逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a?c?b?d，则a与b，c与d都不相等．
错因分析：事件“a?b，c?d”的正确否定应为：①a与b、c与d不都相等；②a?b或c?d． 正解：否命题：已知a,b,c,d是实数，若a?b，c?d中至少有一个不成立，则a?c?b?d． 逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a?c?b?d，则a?b，c?d中至少有一个不成立．
M．方法规律探究 四种条件的判定方法.
（1）定义推断法：分别去判断p?q和q?p是否成立，然后形成结论．
（2）原、逆命题推断法：
原真逆假?条件为：充分不必要； 原假逆真?条件为：必要不充分； 原真逆真?条件条件为：充要； 原假逆假?条件为：不充分不必要.
（3）逆否命题判别法：判断命题?p??q的真假，改为判断其逆否命题q?p的真假． （4）集合推断法：具体内容见前面．
（5）传递法：即p1?p2?p3???pn，得p1?pn．
课堂练习 一、选择题
1．下列语句不是命题的有 ①x2?3?0；
②与一条直线相交的两直线平行吗？ ③3?1?5； ④5x?3?6．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题． 答案：C．
2．若M,N是两个集合，则下列命题中的真命题是
A．如果M?N，那么M?N?M B．如果M?N?N，那么M?N C．如果M?N，那么M?N?M D．如果M?N?N，那么N?M
答案：A．
3．有下列四个命题：
①“若x?y?0，则x,y互为相反数”的逆命题； ②“若a?b，则a2?b2”的逆否命题； ③“若x??3，则x2?x?6?0”的否命题；
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④“若ab是无理数，则a,b是无理数”的逆命题；
其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
解：①逆命题为：x,y互为相反数，则x?y?0． 真命题． ②逆否命题为：若a2?b2，则a?b． 假命题．
③否命题为：若x??3，则x2?x?6?0． 假命题（∵x2?x?6?0??3?x?2，x??3???3?x?2）． ④逆命题为：若a,b是无理数，则ab是无理数． 假命题（∵a?(2)2，b?2时，ab?2不是无理数）． 答案：B．
二、判断题
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． （1）等边三角形的三个内角相等；
（2）当a?0时，函数y?ax?b的值随x值的增加而增加．
解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题． （2）当a?0时，若x的值增加，则函数y?ax?b的值也增加，真命题．
5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. （1）矩形的对角线相等；
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； （4）实数的平方是非负数．
解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．
（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题． （3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题． （4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．
6.给出以下命题，判断p是q的什么条件？ （1）p:A?B，q:sinA?sinB；（2）p:x?2且y?3，q:x?y?5；（3）p:正方形，q:菱形；（4）p:a?b，q:11?． ab解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．
二、解答题
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题． （1）ac?bc?a?b；
1（2）当m??时，mx2?x?1?0无实根．
4解：（1）若ac?bc，则a?b． 否命题：若ac?bc，则ca?b． 逆否命题：若a?b，则ac?bc． （2）若m??，则方程mx2?x?1?0无实根． 否命题：若m??，则方程mx2?x?1?0有实根．
1414逆否命题：若方程mx2?x?1?0有实根，则m??．
148．有下列四个命题：
①“若x?y?0，则x,y互为相反数”的逆命题； ②“若a?b，则a2?b2”的逆否命题；
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③“若x??3，则x2?x?6?0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a,b是无理数”的逆命题；
其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
解：①逆命题为：x,y互为相反数，则x?y?0． 真命题． ②逆否命题为：若a2?b2，则a?b． 假命题．
③否命题为：若x??3，则x2?x?6?0． 假命题（∵x2?x?6?0??3?x?2，x??3???3?x?2）． ④逆命题为：若a,b是无理数，则ab是无理数． 假命题（∵a?(2)2，b?2时，ab?2不是无理数）． 答案：B．
9．写出下列命题“若m?0且n?0，则m?n?0”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若m?n?0，则m?0且n?0． 假命题． 否命题：若m?0或n?0，则m?n?0． 假命题． 逆否命题：若m?n?0，则m?0或n?0． 真命题．
10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．
分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．
证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等． 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
11．证明：若a2?b2?2a?4b?3?0，则a?b?1．
分析：将“若a2?b2?2a?4b?3?0，则a?b?1”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若a?b?1，则
a2?b2?2a?4b?3?0”为真命题．
证明：若a?b?1，则a?b?1，∴a2?b2?2a?4b?3?(b?1)2?b2?2(b?1)?4b?3?2b?1?2b?2?4b?3?0， 即a2?b2?2a?4b?3?0．
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.
b)0?，12．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，a,b?R，若f(a)?f(求证：a?b?0．
分析：将“若f(a)?f(b)?0，则a?b?0”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若a?b?0，则f(a)?f(b)0?”为真命题．
证明：“若a?b?0，a??b.∵f(x)为R上的增函数，∴f(a)?f(?b)，又知f(x)为奇函数，∴f(a)??f(b)，即f(a)?f(b)? 0．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
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