7（房山）．阅读下面材料：如图1，已知线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，请你利用所学知识把线段AB、CD转移到同一三角形中．小强同学利用平移知识解决了此问题，具体做法：如图2，延长OD至点E，使DE=CO，延长OA至点F，使AF=OB，联结EF，则△OEF为所求的三角形．
请你仔细体会小强的做法，探究并解答下列问题：
如图3，长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA=∠C′OB=∠A′OC=60°；
（1）请你把三条线段AA′，BB′，CC′ 转移到同一三角形中．（简要叙述画法）
′′′′′′
（2）联结AB、BC、CA，如图4，设△ABO、△BCO、△CAO的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3 3（填“>”或“<”或“=” ） ． 图3
如图4
8（平谷）. △ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）将△ABC向右平移4个单位
得到△A1B1C1，则点A1的坐标是 ( ），
点B1的坐标是 ( ) ；
（2）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90，画出旋转后的图形．
9（昌平）． 问题探究：
（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；
（3）如图3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC的
面积最大的所有点P，保留作图痕迹．
?图2 ADADADB图1CB图2CB图3C10（怀柔）. 如图①，将一张直角三角形纸片?ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，?CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿?CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”. AAAA EEDD BCBC CBCBCFB
图① 图② 图③ （1）如图②，在正方形网格中，能否仿照前面的方法把?ABC折叠成“叠加矩形”，如果能，请在图②中画出折
痕及叠加矩形；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜?ABC，使其顶点A在格点上，且?ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？
11（大兴）．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，试过△ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.
他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点D. 将∠BAC分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形.
喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.
他的做法是：
如图3，先画△ADC ，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一个结论：
当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．
请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．
12（门头沟）.阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连结EF，求证：DE+BF=EF． yDADEAD EAD
AO B 图4CExBF图1CGBF图2CB图3C小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
y请回答：在图2中，∠GAF的度数是 ．
DADADAD参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
C（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC）， EEEA∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°， O DE=4，则BE= ．BxBFCGBF图2CB图3yC图4中，点B是x轴上一（2）如图4，在平面直角坐标系xOy图1
动点，且点A（?3，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作 正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y， 则y= ．
13（顺义）．问题背景
（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点D作DF∥AC交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DFCE的面积S? ，
△DBF的面积S1? ， △ADE的面积S2? ．
DCAOB图4x探究发现
（2）在（1）中，若BF?a，FC?b，DＧ与BC间的距离为h．
直接写出S2? （用含S、S1的代数式表示）．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为4、8、1，试利用（2）中的结论求□DEFG的面积，直接写出结果． ．．．．．．．
14（通州）
22．小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l
的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小.小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的： ①作点A关于直线l的对称点A′. ②连结A′B，交直线l于点P. 则点P为所求.
请你参考小明的作法解决下列问题：
（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC
边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小. ①在图1中作出点P.（三角板、刻度尺作图，保留作图 痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE周长的最小值 .
（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为
边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置.（三角板、刻度尺作图，保
G BAlBAPA'lAECDB图1
图１D C
留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值 .
A 图 2 B 15（密云）如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕， △CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个 完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题： （1）
如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”
为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么他必须满足的条件是 ．
16.延庆
22. （本题满分4分）阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6,且∠BAC=45°,求线段AD的长. A A OF CBDCB DE图1
图2
小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O点作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及 OE，在Rt△AOF中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF得以解决此题。
请你回答图2中线段AD的长 . A参考小红思考问题的方法，解决下列问题：
如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6,且∠BAC=30°, 则线段AD的长 .
BD图3C