第三讲 有理数四则运算
模块一 有理数的加减法
定 义 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ．．．．．．．．．．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符．．．．．号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ．．③一个数同0相加，仍得这个数． ?5?3???5?3???2 示例剖析 3?5?8 ?3?0??3 有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号； ②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差． 有理数加法的运算技巧： ①分数与小数均有时，应先化为统一形式． ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算． ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零． ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加． ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． ⑥符号相同的数可以先结合在一起． 有理数加法的运算律： ① 两个数相加，交换加数的位置，和不变． ② 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． ．．．有理数减法的运算步骤： ①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算． 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果． a?b?b?a(加法交换律) (a?b)?c?a?(b?c)(加法结合律) a?b?a?(?b)(减法法则) 3?0.15?9?5?11?(?3)?(?0.15)?(?9)?(?5)?(?11)它的含义是正3，负0．15，负9，正5，负11的和． 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式． 1 / 9 【夯实基础】
【例1】 计算：
?3?⑴ ??7.5????3??
?5?
?3?⑵ ??7.5????3??
?5? ⑶
7?53?????? 6?6?【解析】 ⑴ 11.1；⑵?11.1；⑶ ?23． 3
【例2】 计算：
⑴ ?20???15????28??17
（人大附中期中）
⑵ ⑶
21?1??3?????????? 38?3??8?1132?2?2?3 4343（北京师范大学附属实验）
【解析】 ⑴ ?24；⑵
1；⑶ ?3． 2
【例3】 计算：
⑴ ?7.34???12.74??12.34?7.34
1?1??1?⑵ 3???5.5????1????3?
3?3??2?⑶ ??3????4??|?15|???????7??? 23132⑷ ???1??2?
3424332⑸ 6?24?4?16?6.8?3.2
551【解析】 ⑴ ?0.4；⑵ ?7；⑶ 1；⑷ ?；⑸ 9．
2
??【能力提升】
【例4】 计算：
4??3?4???⑴ ??18????53????53.6????18????100?
5??5?5???⑵ [4
5127＋(－)]＋[(－)＋6] 127712⑶ 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999 151191411711⑷ 1?2?3?4?5?6?7?8?9
2612203042567290 2 / 9
1111122222(?????)?(?????)23459603455960⑸
333335859?(?????)??(?)44659605960【解析】 ⑴ ?100
4⑵ 10
7⑶ 添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：
原式 = 20＋200＋2×10＋2×10＋…＋2×10-(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220-45 = 2222222175．
⑷ 原式
1??1??1??1??1??1??1??1??1????1????3????3????5????5????7????7????9????9??6??12??20??30??42??56??72??90??2??111111??111?????? ??1?3?3?5?5?7?7?9?9???????2612203042567290?1??11111??111??9?????????????
?261220??3042567290?73?1??11???9??1????????9???8
1010?5??510?349⑸原式?????
11212312359?(?)?(??)???(?????) 2334446060606012?459??????222221(1?2?3???59) 21(1?59)?59?22885 3 / 9 模块二 有理数乘除法
定 义 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号．．．．．．．．．．得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0． ．．有理数乘法运算律： ①两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． ab?ba(乘法交换律) abc?a(bc)(乘法结合律) 示例剖析 3?4?12 ?3?4??(3?4)??12 ?3?(?4)?12 a(b?c)?ab?ac(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．（奇负偶正） ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0． ③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算． 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数． 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0． 有理数除法的运算步骤： 首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．
133?5?3?? 551a?b?a? (b?0) b ?4?2??2 【夯实基础】
【例5】 计算：
3???4??1??1?3⑴ ??0.25??0.5???70??4 ⑵ ??3????1????1????5??
5???5??9??2?113【解析】 ⑴ 35；⑵ ?9．
10
【例6】 计算：
?11111?⑴ 36???????
?23469??1111???????48? ⑵ ???436612? 4 / 9 9?9?9????⑶ ??8????12????5????12??4???12?
16?16?16?????1?1?1?⑷ ??0.25????5?????3.5??????2
?2?4?4?
29【解析】 ⑴ 11；⑵ ?6；⑶ ?12；⑷ 0
316
模块三 有理数四则混合运算
定 义 示例剖析 有理数混合运算的运算顺序： ⑴ 先乘方（下节课学习），再乘除， 最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行； ⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）．．．．．．中括号、大括号依次进行． 到低（级），从小（括号）到大（括号）”． ．．．．．．加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算． 同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的． 易错点1：注意运算顺序，先乘除后加减，同级的从左到右依次运算，有括号的先算括号里的． 易错点2：如果只有乘除的，先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算．
【能力提升】
【例7】 计算：
?1?4⑴ ??5???8???2?4?
?2?11（北师大附属实验中学期中）
⑵ ?9?12???6????4????4????8?
?2?517??⑶ ?1??????24????5?
?13?8612??（清华附中期中）
【解析】 ⑴ ?6；⑵ ?9；⑶ 410 13 5 / 9