（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2； ∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°； ∴∠OBA=90°，OB=AB； ∴△OAB是等腰直角三角形；
（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4， ∴OB=AB=2； 由题意得：点A′坐标为（﹣2，﹣2） ∴A′B′的中点P的坐标为（﹣，﹣2）； 当x=﹣
时，y=﹣×（﹣
）+2×（﹣
2
）≠﹣2；
∴点P不在二次函数的图象上．
点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定、图形的旋转变化等知识． 24．（12分）如图，港口B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去． （1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？
（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 专题： 计算题．
分析： （1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间． （2）过C作CH⊥OA，垂足为H．设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在OA上的D处相遇，则CD=60x，OD=20（x+2）．根据直角三角形的性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考察船相遇的最短的时间． 解答： 解：（1）由题意可知：∠CBO=60°，∠COB=30度． ∴∠BCO=90度．
在Rt△BCO中， ∵OB=120， ∴BC=60，OC=60． ∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）．
（2）设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在 OA上的D处相遇，则CD=60x． 过点D作DE⊥CO于点E， ∵考察船与快艇是同时出发， ∵快艇从港口B到小岛C的时间是1小时，在小岛C用1小时装补给物资， ∴考察船从O到D行驶了（x+2）小时， ∴OD=20（x+2）． 过C作CH⊥OA，垂足为H， 在△OHC中， ∵∠COH=30°，OB=120， ∴CO=60， ∴CH=30，OH=90． ∴DH=OH﹣OD=90﹣20（x+2）=50﹣20x．
222
在Rt△CHD中，CH+DH=CD， ∴
2
+（50﹣20x）=（60x）．
22
整理得：8x+5x﹣13=0． 解得：x1=1，x2=﹣
．
∵x＞0， ∴x=1．
答：快艇从小岛C出发后最少需要1小时才能和考察船相遇．
点评： 此题考查学生对方向角的理解及解直角三角形的综合计算能力，难易程度适中． 25．（14分）（2014?普陀区二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE=∠A，以D为圆心、DC的长为半径作⊙D．
（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． （2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长． （3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？
考点： 圆的综合题． 专题： 压轴题．
分析： （1）通过相似三角形△BDE∽△BAC的对应边成比例得到整理得到y=5﹣x（0＜x≤
）；
=
，把相关线段的长度代入并
（2）如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD．通过相似三角形△BFD∽△BGA的对应边成比例得到
=
．DF=6﹣BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相关线段的长度代入便可以求得BD
的长度；
（3）分类讨论：⊙D与⊙E相外切和内切两种情况．由（1）的相似三角形推知BD=ED．所以如图2，当⊙D与⊙E相外切时．AE+CD=DE=BD；如图3，当⊙D与⊙E相内切时．CD﹣AE=DE=BD． 解答： 解：（1）如图，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A， ∴△BDE∽△BAC， ∴=
，
∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y， ∴=
，即y=5﹣x．
∵0＜x≤6，且0≤y≤5， ∴0＜x≤
．
）；
综上所述，y关于x的函数关系式及其定义域为：y=5﹣x（0＜x≤
（2）如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD，则DF=DC，∠BFD=90°． 过点A作AG⊥BC于点G，则∠BGA=90°． ∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B， ∴△BFD∽△BGA， ∴=
．
又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC ∴BG=BC=3，AG=∴
=
，解得BD=
；
=
=4，
（3）∵由（1）知，△BDE∽△BAC，
∴=，即==1，
∴BD=DE． 如图2，当⊙D与⊙E相外切时． AE+CD=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是y=5﹣x， ∴5﹣x+6﹣x=x， 解得，x=
，符合0＜x≤
．
，
∴BD的长度为
如图3，当⊙D与⊙E相内切时．CD﹣AE=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是y=5﹣x， ∴6﹣x﹣5+x=x， 解得，x=，符合0＜x≤∴BD的长度为． 综上所述，BD的长度是
或． ，
点评： 本题考查了圆的综合题．其中涉及到了相切两圆的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征．遇到动点问题，需要对动点的位置进行分类讨论．