随 机 信 号 分 析 习 题 参 考 答 案
北京工业大学 电控学院
2008.12.9
第 1 页 共 18 页
第一章 随机信号基础
1.2 设连续随机变量X的概率分布函数为： 求： 解：
F(x)?00.5?Asin[1x?0?2(x?1)]0?x?2x?2（1） 系数A （2）X取值在（0.5 ，1）内的概率P(0.5?x?1) （3） 求X的概率密度函数
（1） 因为X为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。
即 limF(x)?F(0)
x?0有：lim{0.5?Asin[x?0?2(x?1)]}?0 解得：A?12
（2） 根据分布函数的性质：P(x1?x?x2)?F(x2)?F(x1)
P(0.5?x?1)?F(1)?F(0.5)?0.5?[0.5?0.5*22]?24
（3） 因为fX(x)?dFX(x)dx
当0?x?2时， fX(x)?dFX(x)dx(x?1)dFX(x)dx?12cos?2(x?1)*?2??4cos?2(x?1)
其他 fX(x)??0
?4fX(x)?0cos?20?x?2
else
1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度 。
第 2 页 共 18 页
如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I）F(x)是x的单调非减函数
（II）F(x)是非负函数，且满足：0?F(x)?1 （III）F(x)处处连续
1?e?x2x?0（1）F(x)?
0x?0可证明F(x)满足以上三个条件，可知F(x)是一个概率分布函数。1?x2e2x?0
f'X(x)?F(x)?
0x?0
0x?0（2）F(x)?Ax20?x?1 1x?0经过计算可知当A?1时为分布函数。
0x?0则此时 F(x)?x20?x?1 1x?00elsef(x)?F'(x)?
2x0?x?1（3） F(x)?xa[u(x)?u(x?a)]a?0
xa0?x?a上式等价于： F(x)?
0else第 3 页 共 18 页
解：
因为在x?a点，F(a)?1 limF(x)?0 此函数在此点不连续。
x?0?所以该函数不是分布函数。
10?x?11.5 设随机变量X的概率密度为：fX(x)?0else
求：Y?5X?1的概率密度。 解：
因为 Y?5X?1 所以 X?1515Y?150??h(Y)
y?15?1?1?y?6则：fY(y)?fX((h(y))?0else
1.7 设随机变量X的数学期望和方差分别为m和?，求随机变量Y??3X?2的数学期望和方差及X和
Y的相关矩。 解：
E[Y]?E[?3X?2]??3E[X]?2??3m?2 D[Y]?D[?3X?2]?9D[X]?9? RXY?E[XY]?E[X(?3X?2)]?E[?3X2222?2X]??3E[X]?2E[X]??3(D[X]?E[X])?2E[X] ??3??3m?2m
1.11 随机变量X、Y的联合概率密度为：
fXY(x,y)?Asin(x?y)0?x,y??2
2X求：（1）系数A （2）数学期望mX,mY （3）方差?（4）相关矩RXY及相关系数rXY
和?Y
2第 4 页 共 18 页
解：（1）
??????????20Asin(x?y)dxdy???20Asin(x?y)dxdy?2A
有二位概率密度性质可知：????fXY(x?y)dxdy?1 所以可得A?1
????2）f??（2X(x)????fXY(x,y)dy??20sin(x?y)dy?12(sinx?cosx)
mX?????xfX(x)dx?
??2x*11?202(sinx?cosx)dx?2?0xd(sinx?cosx)??4同理：f?Y(y)?? 有 ??fXY(x,y)dx?12(siny?cosy) mY??4（3）因为?2?E[X2]?E2X[X]
可求
E[X2]???2???xfX(x)dx????x212(cosx?sinx)dx??28??
2?2 ?222X?E[X]?E[X]??216??2?2
同理可得：?22]?E2Y?E[Y[Y]??216??2?2
R?E[XY]????XY?????xyfXY(x,y)dxdy（4）
????2?2100xy*2sin(x?y)dxdy?? 2?1C2XY?RXY?mXmY??2?1?(?4)
??(?22rXY?CXY2?14)?????8??162X??Y?216??2?2??8??32??0.245
第 5 页 共 18 页