第二章 随机过程
2.1随机过程 X(t)?Acos(?t)?Bsin(?t)，其中其中?为常数，A、B为互相独立的高斯变量，
222E[A]?E[B]?0，E[A]?E[B]??。求X(t)的数学期望和自相关函数。
解：
E[X(t)]?E[Acos(?t)?Bsin(?t)]?cos(?t)E[A]?sin(?t)E[B]?0
RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[(Acos?t1?Bsin?t1)(Acos?t2?Bsin?t2)]
?E[Acos?t1cos?t2?ABsin?t1cos?t2?ABcos?t1sin?t2?Bsin?t1sin?t2]?cos?t1cos?t2E[A]?sin?t1cos?t2E[AB]sin?t1cos?t2?cos?t1sin?t2E[AB]?sin?t1sin?t2E[B]2222
因为 A、B为互相独立的高斯变量 所以E[AB]?E[A]E[B]?0 代入上式
R(t,t)?cos?tcos?t?X12122?sin?tsin?t?1222?(cos?tcos?t?sin?tsin?t)?1212??2[cos?(t1?t)]2
2.4 判断随机过程X(t)?Acos(?t??)是否平稳？其中?为常数，?、A分别是均匀分布和瑞利分布的随机变量，且互相独立
f?(?)?12?0???2? fA(a)?ae?a/2?22?2a?0
解： （1）
E[A]?2??0a??a?2e2-a/2?22da?/2?2?2?2E[A]??0a?a?e2-a2da?2?E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?E[A]E[cos(?t??)]??2?a?a2/2?2 ??a2eda*?cos(?t??)d??00?0所以，均值为常数。 （2）
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RX(t,t??)?E[(Acos(?t??))(Acos(?t?????))]???121212E[Acos(2?t????2?)?Acos??]E[A]E[cos(2?t????2?)]?E[A]cos???222212E[A]cos??2
12cos??*2?2?RX(?)（3）
E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?E[A?12E[A]?222221?cos2(?t??)122E[A]??22]12
??E[A]E[cos2(?t??)]?2或
E[X(t)]?RX(0)??22??
所以X(t)?Acos(?t??)是平稳随机过程。
2.5 证明不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程
X(t)?Acos(?0t)?Bsin(?0t)
是宽平稳的而不一定是严平稳的。其中?0为常数，A、B的数学期望为0，方差?2相同。 证明：首先证明X(t)是宽平稳的。
（1）E[X(t)]?E[Acos(?0t)?Bsin(?0t)]?E[A]E[cos(?0t)]?E[B]E[sin(?0t)]?0
均值为常数。
（2）
RX(t,t??)?E[{Acos(?0t)?Bsin(?0t)}{Acos(?0(t??))?Bsin(?0(t??))}]?E[Acos(?0t)cos(?0(t??))?ABsin(?0t)cos(?0(t??))?ABcos(?0t)sin(?0(t??))?Bsin(?0t)sin(?0(t??))]?cos(?0t)cos(?0(t??))E[A]?sin(?0t)cos(?0(t??))E[AB]?cos(?0t)sin(?0(t??))E[AB]?sin(?0t)sin(?0(t??))E[B]?cos(?0t)cos(?0(t??))E[A]?sin(?0t)sin(?0(t??))E[B]?cos(?0t)cos(?0(t??))?222222222
?sin(?0t)sin(?0(t??))?2??[cos(?0t)cos(?0(t??))?sin(?0t)sin(?0(t??))]??cos[?0(t??)??0t]??2cos(?0?)第 7 页 共 18 页
自相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关。
（3）
E[X(t)]?RX(0)??22??
均方值有界。
所以X(t)是宽平稳的。
可以证明E[X3(t)]?2(sin3t?cos3t)与时间有关。（证明省略） 所以得出结论：X(t)是宽平稳的，而不是严平稳的。
2.7 已知随机过程X(t)?Acos(?t??)，?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，X(t)是各态历经的？ 解：（参照2.4题） （1）当A是常数时：
E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?AE[cos(?t??)]?0
所以，均值为常数。
RX(t,t??)?E[(Acos(?t??))(Acos(?t?????))]?E[Acos(?t??)cos(?t?????)]???A2A2A22222E[cos(2?t????2?)?cos??]E[cos(2?t????2?)]?cos???RX(?)A22
cos??
E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?E[A?12E[A]?222221?cos2(?t??)122E[A]??22]12
??E[A]E[cos2(?t??)]?2所以X(t)?Acos(?t??)是平稳随机过程。 又
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X(t)?lim?lim?lim12TT???T?TAcos(?t??)dtT1A2T?AT??sin(?t??)|?T
T???Tsin(?t)cos??0?E[X(t)]1TX(t)X(t??)?lim2T??2T??TAcos(?t??)cos(?t?????))dt?limA2T??4T?T?T[cos(2?t????2?)?cos??)]dt2?A2E[cos(2?t????2?)]?A2
2cos??2?A2cos???RX(?)所以，此时X(t)是各态历经的。
（2）当A为时间函数时：设A?a(t)则此时X(t)?a(t)cos(?t??)
E[X(t)]?E[a(t)cos(?t??)]?a(t)E[cos(?t??)]?0
所以，均值为常数。
RX(t,t??)?E[(a(t)cos(?t??))(a(t??)cos(?t?????))]?E[a(t)a(t??)cos(?t??)Acos(?t?????)]?a(t)a(t??)2E[cos(2?t????2?)?cos??]
?a(t)a(t??)2E[cos(2?t????2?)]?12a(t)a(t??)cos???a(t)a(t??)2cos??所以，自相关函数不仅依赖时间间隔?，还是t的函数。
此时所以X(t)?Acos(?t??)不是平稳随机过程，也就不是各态历经的。
（3）A为随机变量：
证明X(t)?Acos(?t??)是平稳随机过程可参照前面2.4题的证明，此处略。 只求随机过程的自相关函数
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RX(t,t??)?E[(Acos(?t??))(Acos(?t?????))]??12E[A]E[cos(?t??)cos(?t?????)]22
E[A]2cos???RX(?)又因为： X(t)?lim?lim?lim12TT???T?TAcos(?t??)dtT1A2T?AT??sin(?t??)|?T
T???Tsin(?t)cos??0?E[X(t)]12TX(t)X(t??)?lim?lim??A2A222T???T?TAcos(?t??)Acos(?t?????))dt2A2T??4T?T?T[cos(2?t????2?)?cos??)]dtA22
cos??E[cos(2?t????2?)]?cos???RX(?)所以X(t)?Acos(?t??)不是各态历经的。
2.8 设X(t),Y(t)是互相独立的平稳随机过程，它们的乘积是否平稳？ 解： Z(t) ? X ( t) Y ( t )
E[Z(t)]?E[X(t)Y(t)]?E[X(t)]E[Y(t)]?mXmYRZ(t,t??)?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?E[X(t)X(t??)]?E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)因为X(t)、Y(t)是平稳随机过程，故此他们的数学期望为常数，自相关函数仅与时间间隔有关，故此Z(t)的数学期望是常数，自相关函数仅与时间间隔有关，是平稳随机过程。
2.9 求用X(t)自相关函数及功率普密度表示的,Y(t)?X(t)cos(?0t??)的自相关函数及功率谱密度。
?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，X(t)是与?互相独立的随机过程。
解： E[cos(?t??)]?0?2?0cos(?0t??)?12?d??12?sin(?0t??)|0?0第 10 页 共 18 页
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