E[Y(t)]?E[X(t)cos(?0t??)]?E[X(t)]E[cos(?0t??)]?0 RY(t,t??)?E[X(t)cos(?0t??)X(t??)cos(?0t??0???)]
?E[X(t)X(t??)]E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)] 1?RX(?)E[cos(2?0t??0???)?cos(?0?)] 21?RX(?)cos(?0?) 2
方法一： 方法二： SY(?)???114? SY(?)?11422??1?SX(?)??[?(???0)??(???0)][SX(???0)?SX(???0)]?????RY(?)ei?0??i??d???)e????12RX(?)cos(?0?)e1?i??d?e?i???4????RX(?)(e?e?i?0??i??d???4????RX(?)ei?0?d??1?4????RX(?)e-i?0?e?i??d?
[SX(???0)?SX(???0)]
2.11对于两个零均值联合平稳的随机过程X(t),Y(t)，已知?为他们的相关函数，并说明原因。 （1）RX(?)??cos(6?)e（3）RX(?)?6?4e?3? （5）RY(?)?5u(?)e解：
第一个判断条件：实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数。即RX(?)?RX(??) 其中（1）、（2）、（3）、（6）是偶函数
（4）、（5）不是偶函数，所以不是自相关函数。
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?3?22X?5,?Y?10，说明下列函数是否可能
2??
（2）RX(?)?5[sin(3?)3?]
2
（4）RY(?)?5sin(5?) （6）RY(?)?5e??
2第二个判断条件：RX(?)?mX?0
其中（1）、（2）、（6）满足条件；而（3）不满足条件，所以不是自相关函数。 第三个判断条件：RX(0)?|RX(?)|
其中（2）、（6）满足条件；而（1）中RX(0)??1?0不满足条件，所以不是自相关函数。 第四个判断条件：?2X?RX(0)?RX(?)
2其中（2）不满足条件?Y?RY(0)?RY(?)?5?0?5?10所以不是自相关函数。
其中（6）满足条件?
2X?RX(0)?RX(?)?5?0?5所以可能是自相关函数。
2.12 求随机相位正弦信号X(t)?cos(?0t??)的功率谱密度，式中?0为常数，?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量。 解：
自相关函数：RX(?)?E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)]?1212cos?0?
功率谱密度：SX(?)?
????RX(?)d??????cos?0?e?j??d???2{?(???0)??(???0)}
2.14 由联合平稳过程X(t),Y(t)定义了一个随机过程V(t)?X(t)cos(?0t)?Y(t)sin(?0t) （1）X(t),Y(t)的数学期望和自相关函数满足那些条件可使V(t)是平稳过程 解：E [V(t)]?E[X(t)cos(?t)?Y(t)sin(?t)]00
?E[X(t)]cos(?0t)?E[Y(t)]sin(?0t)E[V(t)V(t??)]?E[(X(t)cos(?0t)?Y(t)sin(?0t))?(X(t??)cos(?0(t??))?Y(t??)sin(?0(t??)))]?E[X(t)X(t??)cos(?0t)cos(?0(t??))?X(t)Y(t??)cos(?0t)sin(?0(t??))?Y(t)X(t??)sin(?0t)cos(?0(t??))?Y(t)Y(t??)sin(?0t)sin(?0(t??))]?RXY(?)?RYX(?)①：使数学期望是常数，须满足： E[X(t)]?E[Y(t)]?0第 12 页 共 18 页
②：使自相关函数与时间t无关，须满足： R ( ( ? ) R? )? RXYYX(?)??RXY(?)（2）将（1）的结果用到V(t)，求以X(t),Y(t)的功率谱密度和互谱密度表示的V(t)的功率谱密度 解： RV(?)?RX(?)?cos(?0?)?RXY(?)sin(?0?)
SV(?)???????????R[RV(?)?e?j??d?XY??X(?)?cos(?0?)?R(?)sin(?0?)]?e12j?j??d?12[SX(???0)?SX(???0)]?[SXY(???0)?SXY(???0)]（3）如果X(t),Y(t)不相关，那么V(t)的功率谱密度是什么？ 解：
2.15 设两个随机过程X(t),Y(t)各是平稳的，且联合平稳
X(t)?cos(?0t??) Y(t)?sin(?0t??)
CXY(?)?0?RXY(?)?mXmY?RXY(?)RV(?)?RX(?)?cos(?0?) SV(?)??12?12SX(?)??[?(???0)??(???0)][SX(???0)?SX(???0)]式中，?0为常数，?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量。它们是否不相关、正交、统计独立？ 解：
E[X(t)]?2?
E[Y(t)]???0cos(?0t??)?12?12?d??12?12?sin(?0t??)|0?02?2?
0sin(?0t??)?d???cos(?0t??)|0?02?CXY(?)?RXY(?)?mXmY?RXY(?)?E[cos(?0t??)sin(?0(t??)??)]?E[?1212(sin(2?0t??0??2?)?sin(?0?))]sin(?0?)CXY(?)?0，RXY(?)?0?0??k? ? ? ? k ? 时，X(t)、Y(t)不相关、正交
?0第 13 页 共 18 页
k??? 时，X(t)、Y(t)相关、非正交
?0 ∵ X2(t)?Y2(t)?1
∴ X(t)、Y(t)不是相互独立。
2.17 在一般情况下，随机过程X(t)?Acos(?0t)?Bsin(?0t)是否是（1）宽平稳（2）严平稳 其中，?0为常数，A,B为不同分布的随机变量，但方差相同。 解： E[X(t)]?E[Acos(?t)?Bsin(?t)]00
?E[A]cos(?0t)?E[B]sin(?0t)只有当随机变量A和B的数学期望为0时，X(t)的数学期望才是常数。
E[X(t)X(t??)]?E[(Acos(?0t)?Bsin(?0t))(Acos(?0(t??))?Bsin(?0(t??)))]?E[Acos(?0t)cos(?0(t??))?ABcos(?0t)sin(?0(t??))?ABsin(?0t)cos(?0(t??))?Bsin(?0t)sin(?0(t??))]22只有当随机变量A和B不相关时，X(t)的自相关函数才与时间t无关。 此时：
??2AE[X(t)]?E[Acos(?0t)?Bsin(?0t)]?E[A]cos(?0t)?E[B]sin(?0t)?0E[X(t)X(t??)]?E[(Acos(?0t)?Bsin(?0t))(Acos(?0(t??))?Bsin(?0(t??)))]?E[Acos(?0t)cos(?0(t??))?ABcos(?0t)sin(?0(t??))?ABsin(?0t)cos(?0(t??))?Bsin(?0t)sin(?0(t??))]?cos(?0t)22第 14 页 共 18 页
第三章 系统对随机信号的响应
3.1 RC积分电路的输入电压为：X(t)?X0?cos(?0t??)
其中式中?0为常数，X0、?为在[0,1]和[0,2?]内均匀分布的随N(t) 机变量，且互相独立。求输出电压Y(t)的自相关函数。 解：
E[X(t)]?E[X0?Acos(?0t??)]?E[X0]?E[cos(?0t??)]C Y(t)
??10x0dx0??2?0cos(?0t??)12?d??x022|?1012
所以，均值为常数。
RX(t,t??)?E[(X0?cos(?0t??))(X0?cos(?0t??0???))]?E[X0?X0cos(?0t??0???)?X0cos(?0t??)?cos(?0t??)cos(?0t??0???)]?E[X0]?E[X0cos(?0t??0???)]?E[X0cos(?0t??)]?E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)]?E[X0]??E[X0]??X0332222121212E[cos(2?0t??0??2?)?cos?0?]cos?0???1310X0dX012cos?0??RX(?)2|0?1cos?0???RX(0)?13?12?56??
所以X(t)为平稳随机过程。
|H(?)|?2???222??
?j??SX(?)????RX(?)ed???2???(13?12cos?0?)e?j??d??2?3?(?)??2{?(???0)??(???0)}
SY(?)?SX(?)H(?)＝2?32????222??220{2?3?(?)??2[?(???0)??(???0)]}?(?)＋??
2?220??[?(???0)??(???0)]?RY(?)?13?2(??2??)cos(?0?)
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