量变引起质变，努力让目标实现。
2015-2016中考强化压轴题（第一版）
1．如图是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第9行第2个数字是 _________ ； （2）求第12行所有数字之和？
（3）求第n行的第一个数字和最后一个数字．（用含有“n”的式子表示）
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，梯形的高DF=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
3．（2012?阜宁县三模）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
量变引起质变，努力让目标实现。
参考答案与试题解析（希望你能找到更有效，更规范的方法与大家分享）
1： 解：（1）∵每行的数字个数等于行数， ∴前8行共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个数， ∴第9排第一个数为37，第二个数为38； （2）∵第11行共有1+2+3+…+11=
=66个数，
= 870；
（3）前n﹣1行共有数字：1+2+3+…+（n﹣1）=所以，第n行的第一个数字为最后一个数字为
+n=
+1=．
，
，
∴第12行所有数字之和为：67+68+69+70+71+72+73+74+75+76+77+78=
2： 解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N， ∴AM=DN，AD=MN=5， 而CD=4，∠C=45°，
∴DN=CN=4=AM，∴BM=CB﹣CN﹣MN=3， 若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形， 则∠APC=90°或∠DEP=90°， 当∠APC=90°时，
∴P与M重合， ∴BP=BM=3； 当∠DPB=90°时，
∴P与N重合， ∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况： ①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，∴BE=6， ∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1； ②当P在E的右边， BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （3）由（2）知：x=11时四边形AEPD是平行四边形，此时P在E的右边， 在Rt△CND中，∵∠C=45°，∴CN=DN=4， 又CP=BC﹣BP=12﹣11=1， PN=CN﹣CP=4﹣1=3， 在Rt△PND中，…（8分） ∴PD=AD=5，
∴平行四边形AEPD是菱形．…（10分） 3. ★★. 解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），
2
∴可设该抛物线的解析式为y=ax+bx﹣2． 将A（4，0），B（1，0）代入，
得， 解得，∴此抛物线的解析式为
（2）存在．如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为
，
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量变引起质变，努力让目标实现。 当1＜m＜4时，AM=4﹣m，又∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当即
解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）． ②当
时，△APM∽△CAO，即
．
=
．
2时，△APM∽△ACO， 1．
解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去） ∴当1＜m＜4时，P（2，1）， 当m＞4时，AM=m﹣4，PM=m﹣m+2， ①
=
=或②
=
2
2
=2，
AM=m-4, PM=m﹣m+2 同理可得：
2（m﹣m+2）=m﹣4；解得：m=﹣2﹣2
2
2
＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），
2（m﹣4）=m﹣m+2，解得m=5，m=4（舍去） 求出m=5，﹣m+m﹣2=﹣2， 则P（5，﹣2），
当m＜1时，AM=4﹣m，PM=m﹣m+2．
同理可得：2（m﹣m+2）=4﹣m，解得： m=0（舍去），m=4（舍去）， 2（4﹣m）=m﹣m+2， 解得：m=4（舍去），m=﹣3， m=﹣3时，﹣m+m﹣2=﹣14，
则P（﹣3，﹣14），
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）， （3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为|过D作y轴的平行线交AC于E． 由题意可求得直线AC的解析式为∴E点的坐标为∴
．
， ．
|．
22
2
2
2
∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=DE?h+DE?（4﹣h）=DE?4， ∴
∴当t=2时，△DAC面积最大， ∴D（2，1）．
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，
量变引起质变，努力让目标实现。 4．（2010?东莞）阅读下列材料： 1×2=（1×2×3﹣0×1×2）， 2×3=（2×3×4﹣1×2×3）， 3×4=（3×4×5﹣2×3×4）， 由以上三个等式相加，可得： 1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= _________ ； （3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9= _________ ． 5．（2011?咸宁）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由． （3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．
6．（2009?广州）如图，二次函数y=x+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），△ABC的面积为．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2
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量变引起质变，努力让目标实现。
参考答案与试题解析（希望你能找到更有效，更规范的方法与大家分享）
4 .解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11） =（10×11×12）=440；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]
=[n×（n+1）×（n+2）]； （3）1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）； 2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4）； 3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5）；… 7×8×9=（7×8×9×10﹣6×7×8×9）； ∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（7×8×9×10﹣6×7×8×9）； =（7×8×9×10）=1260．
5.解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）． ∴∠BAE=∠GAE．（1分） 同理，∠GAF=∠DAF． ∴
2
2
2
．（2分）
（2）MN=ND+DH．（3分）
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°， ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°． ∴∠HAN=∠MAN．
又∵AM=AH，AN=AN， ∴△AMN≌△AHN． ∴MN=HN．（5分）
∵∠BAD=90°，AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
222222
∴NH=ND+DH． ∴MN=ND+DH．（6分） （3）由（1）知，BE=EG，DF=FG． 设AG=x，则CE=x﹣4，CF=x﹣6． 在Rt△CEF中，
222∵CE+CF=EF，
222
∴（x﹣4）+（x﹣6）=10．
解这个方程，得x1=12，x2=﹣2（舍去负根）． 即AG=12．（8分） 在Rt△ABD中， ∴
．
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