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(1) 将弹簧从定长x1?0.50m拉伸到定长x2?1.00m时，外力所需做的功；
(2) 将弹簧横放在水平光滑平面上，一端固定，另一端系一个质量m?2.17kg的物体，然
后将弹簧拉伸到一定长x2?1.00m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1?0.50m时物体的速率；
(3) 此弹簧的弹力是保守力吗？
x2x2.0? (1) 外力做的功A??Fdx??(52.8x?38.4x2)dx?(26.4x2?12.8x3)10.5，A?31J
x1x1(2)从伸长量x2?1.00m到x1?0.50m
x1x1弹簧力做的功：A??Fdx??(52.8x?38.4x)dx??(26.4x?12.8x)1.0?31J
x2x2??2230.5根据动能定理：A?121122mv?mv0，mv0?0 222弹簧回到x1?0.50m时物体的速率：v?2A?5.35ms?1 m(3)因为弹簧力做的功：A??(26.4x2?12.8x3)，做的功与路径无关，只位臵有关。所以此
弹簧的弹力是保守力。
3. 水面上一质量为M的静止木船，从岸上以水平速度v0将一质量为m的砂袋抛到船上，此后二者一起运动，设运动过程中受到的阻力与速率成正比，比例系数K，如砂袋与船的作用时间很短， 求 (1) 砂袋抛到船上后，二者一起开始运动的速率；(2) 二者由开始运动到静止时所走过的距离。
? (1)研究对象：木船和砂袋，不计水平方向水的阻力
系统动量守恒：mv0?(m?M)v'0，砂袋和船开始运动的速度：v'0?根据牛顿第二定律，任一时刻砂袋和船满足方程：?Kv?(m?M)mv0
m?Mdv，求解该微分方程 dtKmv0mv0?m?Mt利用初始条件v'0?，得到任一时刻木船和砂袋的速率： v? em?Mm?M(2)?Kv?(m?M)svdvdvdv，?Kv?(m?M)v，?K?(m?M) dtdsdsmv01，s??[(m?M)(v?v'0)]
m?MK ?Kds?(m?M)dv， 其中v'0?0v'0??当船和砂袋运动停止时：v?0， s?31mv0 K4. 一特殊弹簧，弹性力F??Kx，K为倔强系数，x为变形量，现将弹簧水平放臵于光滑的水平上，一端固定，一端与质
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计算题(4)《大学物理习题集》（上册）习题参考解答 共104页
量为m 的滑块相连而处于自然状态，今沿弹簧长度的方向给滑块一个冲量，使其获得一速度v压缩弹簧，问弹簧被压缩的最大长度为多少？
?? 研究对象：滑块和弹簧
过程一：小球获得动量mv?I
x过程二：任一位臵时弹簧力做的功：A??Kxdx，A??0?314Kx 4根据动能定理：?1411Kx?mv'2?mv2 42221212mv4当v'?0，弹簧压缩最大，满足：mv?Kxmax，xmax?4
24K5. 如图所示，两个带理想弹簧缓冲器的小车A和B，质量分别为m1和m2，B不动，A以速度v0与B碰撞，若弹簧的倔强系数分别为k1和k2，不计摩擦，求两车相对静止时，其间的作用力为多大？（不计弹簧质量）
计算题(5)? 研究对象：小车A、B系统动量守恒。
及弹簧为一个系统，系统水平方向上
碰撞后的任一时刻满足：m1v0?m1v1?m2v2 机械能守恒：
1111122222m1v0?k1x1?k2x2?m1v1?m2v2 22222两弹簧之间的作用力满足：k1x1?k2x2
碰撞后小车A减速运动，小车B加速运动，直到两个小车的速度相同时，即两车相对静止，弹簧达到最大压缩量。小车A和B的动量和动能满足
1111222?k1x1?kx?(m1?m2)v2 m1v0?(m1?m2)v 和 m1v0max22max2222由上述两式和k1x1max?k2x2max，解得：x2max?v0m1m2k1，
k2(m1?m2)(k1?k2)F?k2x2max?v0m1m2k1k2
(m1?m2)(k1?k2)单元四 刚体基本运动，转动动能 （一）
一、 选择、填空题
1. 一刚体以每分钟60转绕Z轴做匀速转动 (?沿转轴正方向)。设某时刻刚体上点P的位臵矢量为
????r?3i?4j?5k，单位10?2m，以10?2m为速度单位，则该时刻P点的速度为： 【 B 】
???????(A)V?94.2i?125.6j?157.0k (B)V??25.1i?18.8j
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?????(C)V??25.1i?18.8j (D)V?31.4k
2. 一质量为m的均质杆长为l，绕铅直轴OO’成?角转动，其转动惯量为 【 C 】
1ml2; (B)121(C)ml2sin2?; (D)3(A)12mlsin2? 412ml 3选择填空(2)3. 轮圈半径为R，其质量M均匀布在轮缘上，长为R，质量为m的均质辐条固定在轮心和轮缘间，辐条共有2N根。今若将辐条数减少N根但保持轮对通过轮心，垂直于轮平面轴的转动惯量保持不变，则轮圈的质量为 【 D 】
(A)NN2NNm?M；(B)m?M；(C)m?M；(D)m?M 126334. 一飞轮作为匀减速转动，在5s内角速度由40?rad?s?1?10?rad?s?1，则飞轮在这5s内总共转过了62.5圈， 飞轮再经1.67s的时间才能停止转动。
5. 半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.50rad?s的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度at?0.15m/s2，法向加速度an?1.26m/s2。 6．如图所示，绕定轴O转动的皮带轮，时刻t，轮缘上的A点速度大小为vA=50 cm/s，加速度大小aA=150 cm/s2；轮内另一点B的速度大小vB=10 cm/s，已知这两点到轮心距离相差
选择填空(6)?220 cm，此时刻轮的角速度为2rad/s，角加速度为
4.47rad/s2，点B的加速度为30cm/s2。
二、 计算题
1. 一汽车发动机的转速在8秒内由600 r/min均匀地增加到3000 r/min
(1)求在这段时间内的初角速度ω0、末角速度ω以及角加速度β； (2)求这段时间内转过的圈数N。
2?n2?n?20?rad/s，???100?rad/s ? (1)???0??t，?0?6060?????0t?31.4rad/s2
12(2)???0t??t2，??480?rad，N?
??240圈 2?Created by XCH Page 23 6/21/2016
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*2. 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，孔心在半径的中点。求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
? 应用负质量法来计算
质量为M，半径为R的匀质圆盘的质量面密度：
??M， ?R2计算题(2)Mr22??r?2M的匀质圆盘对过大圆盘中心O的转动惯量为：半径为r、质量m?2?RRJmO?12Rmr?m()2 221MR2?2JmO 2剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为：JO?1R212r42222JO?MR?mr?2m()，JO?M(R?r?2)
222R
3. 如图所示，发电机的皮带轮 A 被汽轮机的皮带轮B带动， A轮和B轮的半径分别为r1?30cm,r2?75cm。已知汽轮机在启动后以匀角加速度0.8?rad?s转动，两轮与皮带间均无滑动。
?2(1) 经过多少时间后发电机的转速为600 r/min? (2) 当汽轮机停止工作后，发电机在1min内由600r/min减到300r/min，设减速过程是均匀 的，求角加速度及在这1min内转过的圈数。
计算题(3)? (1)皮带无滑动：v1?v2，?1r1??2r2，?2??2t
t??1r12，?2?0.8?rad/s,r2?2?1?2??600?20?rad/s， t?10s 60(2)对于发电机：?10?
2??6002??300?20?rad/s，?11??10?rad/s 60602?1??11??10t??211??210??rad/s， ?1??900?rad, N1?1?450圈
62?2?1?
对于气轮机：?1r1??2r2，?2?因为：2?N1r1?2?N2r2，N2??1r1r2，?2???15rad/s2
N1r1?180圈 r24. 试求地球赤道上一点在地球自转时的向心加速度与地球绕太阳运动时的向心加速度大小之比。假定地球绕太阳运动的轨道是圆形的。地球半径为Rearth=6370 km，地心到太阳中心的距离为
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Rearth-sun=1.49?108 km。
2? 地球赤道一点的向心加速度：aearth??自转Rearth，?自转?2?
24?3600
aearth?(2?)2Rearth
24?36002?
365?24?36002地球绕太阳运动时的向心加速度：asun??公转Rearth?sun，?公转?2asun??公转Rearth?sun?(2?)2Rearth?sun
365?24?3600
aearthasun2?)2RearthaReartha224?3600，earth?(365)， earth?5.65 ?2?asunRearth?sunasun()2Rearth?sun365?24?3600(
5. 已知蒸汽涡轮机在发动时，其转轮的转角与时间的三次方成正比。当t=3秒时，转轮的转速为
n=810 r/min, 求轮转的转动方程。
d??3at2 ? 根据题意??at3?b，??dt
t=3秒时，转轮的转速为n=810r/min，??2?nrad/s?27?rad/s 6027?rad/s?3?a?32，a??，所以轮转的转动方程为：???t3
单元四 绕定轴转动的刚体的转动定律 动能定理 （二）
一、 选择、填空题
*1. 一半径为R，质量为m的圆形平板在粗糙水平桌面上，绕垂直于平板器且过圆心的轴转动，摩擦力对OO’轴之力矩为 【 A 】 (A)21?mgR；(B)?mgR；(C)?mgR；(D)0 322. 将一轻绳绕过一滑轮边缘，绳与滑轮之间无滑动，若 (1) 将重量为P的砝码挂在绳端; (2) 用一恒力为F=P向下拉绳端，如图所示，分别用?a和?b表示两种情况下滑轮的角加速度，则
(1) 两滑轮所受力矩方向是垂直纸面向里; 滑轮转动方向为顺
时针方向转动。
选择题(2)(2) ?a和?b的关系是： 【 C 】
(A)?a??b；(B)?a??b；(C)?a??b；(D)不能确定
*3. 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度为?0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大
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