南通市2012届高三第一次调研测试
数学Ⅰ
参考公式：
（1）样本数据x1，x2，?，xn的方差s?1?(xi?x)2，其中x?1?xi. ni?1ni?12nn（2）函数f(x)?sin??x???的导函数f?(x)???cos??x???，其中?，?都是常数.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2?x2?1的离心率为 ▲ . 2． 若复数z满足?1?2i?z??3?4i（i是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 ▲ .
4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差
为 ▲ .
a?1 b?2 c?3 c?a a?b b?c Print a，b （第3题）
5． 设全集U?Z，集合A?xx2?x?2≥0，x?Z，则eUA? ▲ .（用列举法表示） 6． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a = (1，2)，a?1b?(3，1)，则a?b? ▲ .
27． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2
号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .
8. 设P是函数y?x?x?1?图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为?，则?
的取值范围是 ▲ .
9． 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y?logx，y?x，y?12??22??的图象上，
22x且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式： 1?1， 13?23?9， 6 13?23?33?3，00 13?23?33?43?1，
3y 2A 1 O D 1 （第9题）
B C x ??
猜想：13?23?33?????n3? ▲ （n?N*）.
1 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）
11．在棱长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形
B1BCC1的中心. 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大
值为 ▲ .
12．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x??0，π?都成立，则a2?a1的最小值为 ▲ .
??2??13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆
2x2?y?1(a?b?0)的左、右焦点，B，C分别为椭 a2b2y B 圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D. 若cos?F1BF2?7，则直线CD的斜率为 ▲ . 2514．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成
公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的
F1 O F2 D C (第13题)
x 等比数列. 若a4?a1?88，则q的所有可能的值构成的集合为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证 ．．．．．．． 明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.
（1）若2sinAcosC?sinB，求a的值；
c（2）若sin(2A?B)?3sinB，求tanA的值.
tanC
2 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）
16．(本小题满分14分)
如图，在六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1//CC1，A1B?A1D，AB?AD.求证： （1）AA1?BD；
A1 （2）BB1//DD1.
17．(本小题满分14分)
将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆 沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植.
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时2小时，种植一捆沙棘树苗用时1小时.应
25如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？
（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为2小时， 5而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时2小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继
3续种植，求植树活动所持续的时间.
3 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）
D1
C1 B1 D A B （第16题）
C
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x?1)2?y2?1，圆C2：(x?3)2?(y?4)2?1． （1）若过点C1(?1， 0)的直线l被圆C2截得的弦长为
6，求直线l的方程；
5y . C2 （2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长． ①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．
19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)?x?sinx．
（1）设P，Q是函数f(x)图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0； （2）求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcosx在?0，π?上恒成立．
?2?
4 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）
C1 . O x （第18题）
20. (本小题满分16分)
设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n?N*，存在k?N*，使得an?k2?an?an?2k成立，则称 数列{an}为“Jk型”数列.
（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2?8，a8?1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列.
南通市2012
5 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）