届高三第一次调研测试 数学Ⅱ（附加题）
B．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
?01?
1)， 在平面直角坐标系xOy中，直线y?kx在矩阵??对应的变换下得到的直线过点P(4,10??
求实数k的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆??asin?（a?0）与直线?cos????1相切，求实数a的值．
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??
22．（本小题满分10分）
2an已知数列{an}满足：a1?1，an?1? (n?N*)．
2an?1（1）求a2，a3的值；
（2）证明：不等式0?an?an?1对于任意n?N*都成立．
23．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上 方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于 点M，直线AD与直线BC交于点N． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN?x轴；
（3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0）， 求证：直线AB过定点．
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（第23题）
y A M N D O F B C x
15解：（1）由正弦定理，得sinA?a．
sinBb 从而2sinAcosC?sinB可化为2acosC?b． ????????????????3分
222 由余弦定理，得2a?a?b?c?b．
2ab 整理得a?c，即a?1. ?????????????????????????7分
c （2）在斜三角形ABC中，A?B?C??，
所以sin(2A?B)?3sinB可化为sin?????A?C????3sin?????A?C???，
即?sin?A?C??3sin?A?C?．??????????????????????10分 故?sinAcosC?cosAsinC?3(sinAcosC?cosAsinC)．
整理，得4sinAcosC??2cosAsinC， ??????????????????12分 因为△ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC?0，
所以tanA??1．???????????????????????????14分
tanC216（1）取线段BD的中点M，连结AM、A1M， 因为A1D?A1B，AD?AB，
所以BD?AM，BD?A1M．?????????????????????3分
又AM?A1M?M，AM、A1M?平面A1AM，所以BD?平面A1AM． 而AA1?平面A1AM，
所以AA1?BD.????????????????????????????7分 （2）因为AA1//CC1，
AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，
所以AA1//平面D1DCC1．???????????????????????9分 又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1?平面D1DCC1?DD1，????????11分 所以AA1//DD1．同理得AA1//BB1，
所以BB1//DD1．???????????????????????????14分 17（1）设A组人数为x，且0?x?52，x?N*，
150?25?60；?????????????????2分 则A组活动所需时间f(x)?xx8 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）
200?12?100．?????????????????4分 B组活动所需时间g(x)?52?x52?x 令f(x)?g(x)，即60?100，解得x?39．
2x52?x所以两组同时开始的植树活动所需时间
?60， x≤19，x?N*，?x ?????????????????????6分 F(x)??*100?，x≥20，x?N.?52?xF(20)?25，故F(19)?F(20)． 而F(19)?60，198 32时，使植树活动持续时间最短．??????8分 所以当A、B两组人数分别为20，150?2?20?15 （2）A组所需时间为1+，??????????????10分 ?36（小时）20?67200?2?32?13 B组所需时间为1?， ?????????????12分 ?32（小时）32?63 所以植树活动所持续的时间为36小时． ?????????????????14分
7：18（1）设直线l的方程为y?k(x?1)，即kx?y?k?0．
因为直线l被圆C2截得的弦长为6，而圆C2的半径为1，
5 4)到l：kx?y?k?0的距离为所以圆心C2(3，4k?4?4．??????????3分
k2?15 化简，得12k2?25k?12?0，解得k?4或k?3．
43 所以直线l的方程为4x?3y?4?0或3x?4y?3?0．?????????????6分 y)，由题意，得CC1?CC2， （2）①证明：设圆心C(x， 即(x?1)2?y2?(x?3)2?(y?4)2． 化简得x?y?3?0，
即动圆圆心C在定直线x?y?3?0上运动．????????????????10分
3?m)， ②圆C过定点，设C(m，则动圆C的半径为1?CC12?1?(m?1)2?(3?m)2．
于是动圆C的方程为(x?m)2?(y?3?m)2?1?(m?1)2?(3?m)2．
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整理，得x2?y2?6y?2?2m(x?y?1)?0．????????????????14分 ?x?1?32，?x?1?32，x?y?1?0，???22由?2得或 ??233? x?y?6y?2?0，? y?2?2；? y?2?2.?2?2 所以定点的坐标为1?32， 2?32，1?32， 2?32．?????????16分 222219（1）由题意，得f?(x)?1?cosx≥0．
所以函数f(x)?x?sinx在R上单调递增．
设P(x1， y2)，则有 y1)，Q(x2，????y1?y2?0，即kPQ?0． ????????????6分 x1?x2 （2）当a≤0时，f(x)?x?sinx≥0≥axcosx恒成立．???????????????8分 当a?0时，令g(x)?f(x)?axcosx?x?sinx?axcosx， g'(x)?1?cosx?a(cosx?xsinx) ?1?(1?a)cosx?axsinx．
①当1?a≥0，即0?a≤1时，g'(x)?1??1?a?cosx?axsinx?0， 所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．
?2? 所以g(x)≥g(0)?0?sin0?a?0?cos0?0，符合题意． ???????????10分 ②当1?a?0，即a?1时，令h(x)?g'(x)?1?(1?a)cosx?axsinx， 于是h'(x)?(2a?1)sinx?axcosx． 因为a?1，所以2a?1?0，从而h'(x)≥0． 所以h(x)在?0，π?上为单调增函数．
?2? 所以h(0)≤h(x)≤hπ，即2?a≤h(x)≤πa?1，
22亦即2?a≤g'(x)≤πa?1．???????????????????????12分
2（i）当2?a≥0，即1?a≤2时，g'(x)≥0，
所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．于是g(x)≥g(0)?0，符合题意．????14分
?2?（ii）当2?a?0，即a?2时，存在x0?0，π，使得
2 x0)时，有g'(x)?0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数， 当x?(0，????从而g(x)?g(0)?0，不能使g(x)?0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2．????????????????????16分
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