y?tanx的周期为2?（?T??T?2?，如图，翻折无效）.
2??x??)的对称轴方程是x?k??④y?sin(对称中心（k??1?,0）；
2?2（k?Z），对称中心（k?,0）；y?cos(?x??)的对称轴方程是x?k?（k?Z），
y?tan(?x??)的对称中心（
k?,0）. 2?2(k?Z).
y?cos2x?原点对称????y??cos(?2x)??cos2x
tan??1,????k??⑤当tan?·
⑥y?cosx与y?sin??x??2tan???1,????k??(k?Z)；tan?·
????2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 2?1y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x).
2⑦函数
y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的].
f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满
⑧定义域关于原点对称是
足奇偶性条件，偶函数：f(?x)?f(x)，奇函数：f(?x)??f(x)） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：奇函数特有性质：若0?y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
3x的定义域，则f(x)一定有f(0)?0.（0?x的定义域，则无此性质）
▲⑨y?sinx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）；
y▲yx1/2xy?cosx是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T??）； y=cos|x|图象1y?cos2x?的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
2y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R.
⑩y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos??11、三角函数图象的作法： １）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T?2?，频率f?1?|?|，相位?x??;初相?（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，
T2?|?|ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinω x的图
?象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
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b 有a2?b2?y. a
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x?R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数y＝sinx，??????的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是????． －，???x???2，??2??22??????函数y＝cosx，（x?［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］． 函数y＝tanx，??????的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是????． ???，????x???2，2???22????函数y＝ctgx，［x?（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：?反正弦函数没有x与
（一定要注明定义域，若x????,???，y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，x???1,1?y一一对应，故y?sinx无反函数）
注：sin(arcsinx)?x，x??1,1，arcsinx????,??.
?????22??反余弦函数
y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?.
y?arcsinx为奇函数.
），y?arctanx是奇函数，
注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??. ②y?cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx和?反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（???,22arctan(?x)??arctanx，x?(??,??).
注：tan(arctanx)?x，x?(??,??).
?反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（???,22），
y?arccotx是非奇非偶.
arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??). 注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??).
1?x)互为奇函数，y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arccotx非奇非偶但满足②y?arcsinx与y?arcsin(arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1].
? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a的取值范围 解集 a的取值范围 解集
①sinx?a的解集 ②cosx?a的解集
a＞1 ? a＞1 ? =1 ?x|x?2k??arcsina,k?Z?
aaa=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z? ＜1
＜1 x|x?k????1?arcsina,k?Z
k??a?x|x?k??arccosa,k?Z?
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③tanx?a的解集：③cotx?a的解集：
二、三角恒等式.
?x|x?k??arctana,k?Z?
?x|x?k??arccota,k?Z?
sin2?组一cos ?cos2?cos4?...cos2n??n?12sin?
组二
nn?1sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?sin2??sin2??sin?????sin??????cos2??cos2??k?1cos?2k?cos?2cos?4cos?8?cos?2n?sin?2sinn?2n
?k?0nncos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?sin((n?1)d)cos(x?nd)
sind?sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?k?0sin((n?1)d)sin(x?nd)
sindtan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?
1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?组三 三角函数不等式
?sinx在(0,?)上是减函数 sinx＜x＜tanx,x?(0,) f(x)?2x若A?B?C??，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC
高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构
?2.向量的概念?
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(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：几何表示法
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.? (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.? (4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.?
单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.?
(5)相等的向量：大小相等，方向相同?(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 AB；字母表示：a；
?x1?x2 ??y1?y2????a?b?b?a 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) ??????(a?b)?c?a?(b?c) AB?BC?AC 向量的 减法 三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) ????a?b?a?(?b) ????????AB??BA,OB?OA?AB 1.??a是一个向量,满数 乘 向 量 足:|?a|?|?||a| ?????(?a)?(??)a ??a?(?x,?y) ???(???)a??a??a ?????(a?b)??a??b ????a//b?a??b ????a?b?b?a ??????(?a)?b?a?(?b)??(a?b) ??2.?>0时, ?a与a同向; ???<0时, ?a与a异向; ???=0时, ?a?0. ??a?b是一个数 向 量 的 数 量 积 ????1.a?0或b?0时， ??a?b?0. ????a?0且b?0时，2.?? ??a?b?|a||b|cos(a,b)??a?b?x1x2?y1y2 ???????(a?b)?c?a?c?b?c ?2?2??a?|a|即|a|=x2?y2 ????|a?b|?|a||b| 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理?
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
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λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.?
(2)两个向量平行的充要条件?
a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b?a2b＝O?x1x2＋y1y2＝O.? (4)线段的定比分点公式?
设点P分有向线段P1P＝λ1P2所成的比为λ，即PPP2，则?
OP＝
?x?????y???11＋OPOP2 (线段的定比分点的向量公式)? 11??1??x1??x2,1?? (线段定比分点的坐标公式)? y1??y2.1??当λ＝1时，得中点公式：?
x1?x2?x?,?1?2 OP＝（OP1＋OP2）或?2?y?y1?y2.?2? (5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′）， 则OP?＝OP+a或??x??x?h,
?y??y?k.曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ) (6)正、余弦定理? 正弦定理：
abc???2R.
sinAsinBsinC2
2
2
余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，? b＝c＋a－2cacosB，? c＝a＋b－2abcosC.?
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC2ab=1/2ac2sinB=1/2cb2sinA ⑤S△=P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： A
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2
2
2
2
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AAFbDBcaErarabcbCFEFOaBBNCC 第 25 页 共 219 页