22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相切，则??相减为公切线方程.
22??x?y?D2x?E2y?F2?0②d?r时，l与C相交；
22附：公共弦方程：设 C1:x?y?D1x?E1y?F1?0C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0
有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0.
③d?r时，l与C相离.
22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相离，则??相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.
22??x?y?D2x?E2y?F2?0??(x?a)2?(y?b)2?r2 由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为?，则：
?Ax?Bx?C?0???0?l与C相切； ??0?l与C相交； ??0?l与C相离.
注：若两圆为同心圆则x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆x2?y2?r2的斜率为k的切线方程是y?kx?1?k2r过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0 上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0. 22①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为
Ax0x?y0y?r2.
?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??R2?1?BCD(a,b)7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程
x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②
(xA?a)2?(yA?b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?42
三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.
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高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用．
§08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段
?①椭圆的标准方程：
2222i. 中心在原点，焦点在x轴上：x?y?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y?x?1(a?b?0).
2222abab②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：
22x2a2?y2b2?x?acos??1的参数方程为?（一象限?应是属于
y?bsin??0????2）.
?①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2ca2a2或y??.⑥离心率：e?(0?e?1).⑦焦点半径： ?2c,c?a?b.⑤准线：x??acc22i. 设P(x0,y0)为椭圆
x2a2?y2b2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则PF 1?a?ex0,PF2?a?ex0?由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆
x2b2?y2a2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则 PF1?a?ey0,PF2?a?ey0?由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：pF1?e(x0?a)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为―左加右减‖.
cc注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d??共离心率的椭圆系的方程：椭圆
222b2a2b2b2(?c,)和(c,)
aax2a2?y2b2x2y2c22?1(a?b?0)的离心率是e?(c?a?b)，方程2?2?t(t是大于0的参数，
aaba?b?0)的离心率也是e??若P是椭圆：
c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为b2tan（用余弦定理与
2x2a2?y2b2?PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot?2.
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二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹▲y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nx
N的轨迹是椭圆PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线?①双曲线标准方程：
x2a2?y2b2?1(a,b?0),y2a2?x2b2?1(a,b?0). 一般方程：Ax2?Cy2?1(AC?0).
?①i. 焦点在x轴上：
x2y2xya2顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x?? 渐近线方程：??0或2?2?0
abcaby2x2yxa2ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??. 渐近线方程：??0或2?2?0，
abcab?x?asec??x?btan?参数方程：?或? .
y?btan?y?asec???c2a22b2②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数
acax2y2c关系c?a?b,e?. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程2?2?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上
aab222下焦点）
“长加短减”原则：
MF1?ex0?aMF2?ex0?a号）
构成满足MF1?MF2?2a
M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a▲（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符
y▲yF1MMF1?ey0?aMF2?ey0?aM?F1??ey0?a?M?F2??ey0?a?
F1M'MxF2M'F2x?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
x2y2x2y2?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?2??与2?2???互
abab为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：?共渐近线的双曲线系方程：程可设为
x2a2?y2b2?0.
x2a2?y2b2?0如果双曲线的渐近线为
▲x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
xy??0时，它的双曲线方abxa22?yb22y??(??0).
4321F2x例如：若双曲线一条渐近线为y?211x且过p(3,?)，求双曲线的方程？ 2222F1533解：令双曲线的方程为：
yx1x??1. ?y2??(??0)，代入(3,?)得8224?直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
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区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. “?”?若P在双曲线
x2a2?y2b2?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
PF1简证：
d1m?e = . d2PF2ne常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py y▲x2??2py ▲yyyxOxOxOxO 焦点 F(p,0) 2F(?x?p,0) 2F(0,p) 2F(0,?y?p) 2准线 x??范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 p 2x?0,y?R p 2x?0,y?R p 2x?R,y?0 y??p 2x?R,y?0 x轴 （0，0） y轴 e?1 PF?2p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 24ac?b2b?). 注：①ay?by?c?x顶点(4a2a22②y?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22 第 39 页 共 219 页
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线； 当e?0时，轨迹为圆（e?c，当c?0,a?b时）. a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 定义 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0