分式的概念和性质（提高）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】
【高清课堂403986 分式的概念和性质 知识要点】 要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
A叫做分式.其中AB叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，
分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以
分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个
常数，不是字母，如
a?是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
x2y不能先化简，如是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，
x不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式
中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：
AA?MAA?M?，?（其中M是不等于零的整式）. BB?MBB?M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着
的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式
中字母的取值范围有可能发生变化.例如：字母x的取值范围变大了.
，在变形后，
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要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有
?bb?bb?，?.根据有理数除法的符号法则有?aaa?a?bbbaa???.分式与?互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着a?aabb重要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式
是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
要点六、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则
是针对多个分式而言. 【典型例题】 类型一、分式的概念
【高清课堂403986 分式的概念和性质 例1】
1、指出下列各式中的整式与分式：，
1xa?bx321，，，2，?，?3?2y2，
32?x?1x?yx2y2，．
4x【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】
a?bx2y22解：整式有：，，?，?3?2y，；
32?4地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第2页 共10页
13x21分式有：，，，．
xx?yx2?1x【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后
x2再判断，如x和，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同
x的．
类型二、分式有意义，分式值为0
【高清课堂403986 分式的概念和性质 例2】
2、 当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值为零？ （1）
xx?52x?10；（2）；（3）． 22x?1x?5x2【答案与解析】
解：（1）当x?1?0，即x??1时，分式有意义．
∵ x为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数x，分式都有意义； 当x?0时，分式的值为零．
（2）当x?0即x?0时，分式有意义； 当?222?x?0,即x?5时，分式的值为零
?x?5?0,（3）当x?5?0，即x?5时，分式有意义；
?x?5?0,①当?时，分式的值为零，
2x?10?0②?由①得x?5时，由②得x?5，互相矛盾． ∴ 不论x取什么值，分式
2x?10的值都不等于零． x?5【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零． 举一反三： 【变式1】若分式【答案】－2；
x?2x?5x?62的值为0，则x的值为___________________.
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提示：由题意??|x|?2?02?x?5x?6?0，???|x|?2?0，所以x??2.
???x?3??x?2??0【变式2】当x取何值时，分式【答案】
x?2的值恒为负数？ 2x?6?x?2?0,?x?2?0,解： 由题意可知?或?
2x?6?0,2x?6?0.??解不等式组??x?2?0,该不等式组无解．
?2x?6?0,?x?2?0,解不等式组?得?3?x?2．
2x?6?0.?所以当?3?x?2时，分式类型三、分式的基本性质
【高清课堂403986 分式的概念和性质 例4】
3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) 【答案与解析】 解：(1)
；
； (2)
； (3)
.
x?2的值恒为负数． 2x?6(2)
???a?1?a?1； ??a2?2a2?2.
(3)
【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：
当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号. 举一反三：
【变式】下列分式变形正确的是（ ）
xx2m?n(m?n)2(m?n)2A．?2 B． ??yym?n(m?n)(m?n)m2?n2C．
1?x1bab??2 D．2x?2x?1x?1aa【答案】D；
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提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A项分子、分母乘的不是同一整式，B项中m?n?0这一条件不知是否成立，故A、B两项均是错的．C项左边可化为：项亦错，只有D项的变形是正确的．
类型四、分式的约分、通分
1?x11，故C??(1?x)21?xx?1a2?2a?12n2?m4、约分：（1）；（2）；
a2?12mn?4n3通分：（3）
【答案与解析】
3a?b14x2与；（4），，． 222x?42ababcx?2x?2a2?2a?1(a?1)2a?1解：（1）； ??a2?1(a?1)(a?1)a?112n2?m2n2?m?(m?2n2)??（2）； ??3222n2mn?4n2n(m?2n)2n(m?2n)（3）最简公分母是2abc．
2233?bc3bca?b(a?b)?2a2a2?2ab． ?2?22，2??22222ab2ab?bc2abcabcabc?2a2abc（4）最简公分母是(x?2)(x?2)，
4x4x1x?2x?222(x?2)2x?4?2??2??2，2，．
x?2(x?2)(x?2)x?4x?4x?4x?2(x?2)(x?2)x?4【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．
类型五、分式条件求值
xx2?2xy?3y25、若??2，求2的值． 2yx?6xy?7y【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】
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