对于有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，其输出y(n)只取决于有限个过去和现在的输入，x(n),x(n-1),…,x(n-m),滤波器的输入输出关系可表示为
My(n)??brx(n?r) (1-4)
r?0对于无限脉冲响应（IIR）数字滤波器，它的输出不仅取决于过去和现在的输入，而且还取决于过去的输出，其差分方程为
NMy(n)??aky(n?k)??brx(n?r) (1-5)
k?1r?0该差分方程的单位冲激响应是无限延续的。
1.3数字滤波器设计指标
设数字滤波器的传输函数用下式表示：
H(ej?)?H(ej?)ej?(?)
(1-6)
式中，｜H(ej?)｜为幅频特性，?(?)为相频特性[6]。幅频特性表示信号通过滤波器后各频率成分的衰减情况，相频特性则反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。通常，选频滤波器的指标要求都以幅频特性给出，对相频特性不作要求，如果需要对输出波形有严格要求，如语音合成、波形传输等，则要求设计线性相位数字滤波器[7]。
数字滤波器的参数指标是?p、?s、?p和?s。?p和?s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用?p表示，阻带内允许的最小衰减用?s表示，?p和?s分别定义为
?p?20lgH(ej0)H(ep)j???20lgH(ep) dB (1-7）
j??s?20lgH(ej0)H(ej?s)??20lgH(ej?s) dB (1-8)
式中均假定H(ej0)已被归一化为1
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2 FIR数字滤波器设计基础
2.1 FIR数字滤波器的特点
FIR滤波器在保证幅度特性的同时，很容易做到严格的线性相位特性。在数字滤波器中，FIR滤波器的最主要特点是没有反馈回路，故不存在不稳定的问题；同时，在幅度特性可以任意设置的同时，保证了精确的线性相位。稳定和线性相位是FIR滤波器的突出优点。另外还有以下特点：设计方式是线性的；硬件容易实现；滤波器过渡过程具有有限区间；相对IIR滤波器而言，阶次较高，其延迟也要比同样性能的IIR滤波器大得多[8]。
2.2 FIR数字滤波器的线性相位条件：
设滤波器单位脉冲响应的长度为N，系统函数为
H(z)??h(n)z?n (2-1)
n?0N?1由此式可见，H(z)是z?1的(N-1)次多项式,它在Z平面上有(N-1)个零点，原点z=0是(N-1)阶重极点，位于r =1的单位圆内，系统永远稳定。稳定性和线性相位特性是FIR滤波器的突出优点。
FIR滤波器的设计任务是选择有线长度的h(n)，使传输函数H(ej?)满足要求。
线性相位条件：
对于长度为N的h(n)，传输函数为
N?1n?0H(e)??h(n)e?j?n (2-2)
jwH(ejw)?Hg(?)e?j?(w) (2-3)
式中,Hg(?)称为幅度特性，?(?)称为相位特性。线性相位是指相位函数?(?)满
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足如下特性：?(w)???w或?(?)??0??w, ?0是起始相位，?为常数，一般称第一种情况为第一类线性相位，称第二种情况为第二类线性相位。
满足第一类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2偶对称，即h(n)?h(N?n?1)；满足第二类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2奇对称，即h(n)??h(N?n?1)。
2.3 FIR数字滤波器的基本结构
FIR滤波器的基本结构有以下几种：直接型、级联型、线性相位型、频率采样型。
1. 直接型
设FIR滤波器的单位冲击响应h(n)为一个长度为N的序列，则滤波器系统函数为：
N?1n?0H(z)??h(n)z?n （2-4）
表示这一系统输入输出关系的差分方程为
N?1y(n)??h(m)x(n?m) (2-5)
m?0直接由差分方程可得出对应的网络结构如图2-1所示：
x(n)z?1h(0)z?1h(1)h(2)z?1h(N-2)h(N-1)y(n)
图2-1 FIR滤波器的直接型结构 直接型结构的优点：简单直观，乘法运算量较少。 缺点：调整零点较难。 2．级联型
当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)分解为实系数二阶因子的乘积形式：
N/2k?1H(z)??(?0k??1kz?1??2kz?2) (2-6)
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式中，H(z)为h(n)的z变换，?0k，?1k，?2k为实数。级联型结构如图2-2所示：
x(n)?01z?1z?1?02z?1z?1?N??0???2?y(n)?11?12z?1?1?N???2??Nz?1?2????2??
?21?22图2-2 FIR滤波器的级联型结构
该结构的优点：调整零点比直接型方便。
缺点：H(z)中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。当H(z)的阶次高时，也不易分解。
3.线性相位型结构
FIR滤波器的线性相位结构有偶对称和奇对称，不论h(n)为偶对称还是奇对称都有：
当N为偶数时，系统函数为
N?12n?0H(z)??h(n)?z?n?z?(N?1?n)? (2-7)
当N为奇数时，系统函数为
H(z)??h(n)?zn?0N?12?n?z?(N?1?n)??h???N2?N?1????1??2?? (2-8) ?z?对这两种情况，都可以用FIR直接型实现，其信号流图如图2-3所示。
x(n)z?1?z?1z?1y(n)b?0?z?1h?1?z?1?H?h??1??2?
(a)N为偶数
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x(n)z??z?1z?1z?1y(n)b?0?z?1h?1??H?h??1??2?
(b)N为奇数 图2-3 线性相位型结构
这种结构在本质上是直接型，但乘法次数比直接型省了一半。
4．频率采样型
频率采样型结构是一种用系数将滤波器参数化的一种实现结构。一个有限长序列可以由相同长度频域采样值惟一确定。
系统函数在单位圆上作N等分取样就是单位取样相应h(n)的离散傅里叶变换
H(k)。H(k)与系统函数之间的关系可用内插公式表示：
H(k) (2-9) H(z)?(1)(1?z?N)?k?1N1?WZN式中 Hc(z)?1?z?N
Hk(z)?H(k) ?k?11?WNZ这样，H(z)是由梳状滤波器Hc(z)和N个一阶网络Hk(z)的并联结构进行级联而成的，其网络结构（信号流图）如图2-3所示。Hc(z)是一个梳妆网络，其零点为
?kWN?exp(jk2?), k= 0, 1，2…，N-1 N刚好和极点一样，等间隔地分布在单位圆上。理论上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性。
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