（Ⅱ）判断方程f(x)?x的实根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）设数列{an}满足a1?0,an?1?f(an)，试探究数列{an}的单调性，并加以证明． 21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如
果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知向量??1?1??在矩阵M???0??1??m??0????变换下得到的向量是． ???1???1??1（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2?x?y?0在矩阵M对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点
??x?1?2cos?,M的极坐标为(４2,)，曲线C的参数方程为?． (?为参数）4??y?2sin??（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数a,b满足2a?b?9． （Ⅰ）若9?b?a?3，求x的取值范围； （Ⅱ）若a,b?0，且z?ab，求z的最大值．
2011年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准
说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
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2 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．A； 7．D； 8．C； 9．B； 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．
2 11．4 ； 12．10； 13．?x?2??y?4； 14．4； 15．①④．
23 三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．
解法一：(Ⅰ)证明:因为cos(???)?cos?cos??sin?sin?，------① cos(???)?cos?cos??sin?sin?②?????????????????2分
①
-②
得
，
------
cos(???)?cos(???)??2sin?sin?.------
③????????????3分
A?BA?B,??， 22A?BA?Bsin代入③得cosA?cosB??2sin.???????????????22令????A,????B有??6分
(Ⅱ)由二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为
1?2sinA?1?2sinB?1?1?2sinC,?????????????????9分
所以sinA?sinC?sinB.?????????????????10分
设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
由正弦定理可得a?c?b.????????????????12分 根
据
勾
股
定
理
的
逆
定
理
知
222222222?ABC为直角三角
形.?????????????????13分
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解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为
?2sin?A?B?sin?A?B??1?1?2sin2C，?????????????????8分
因为A,B,C为?ABC的内角，所以A?B?C??，
所以?sin?A?B?sin?A?B??sin2?A?B?. 又因为0?A?B??，所以sin?A?B??0, 所以sin?A?B??sin?A?B??0.
从而2sinAcosB?0.?????????????????10分 又sinA?0,所以cosB?0，故?B?分
所以?ABC为直角三角形. ?????????????????13分
17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．
解法一：（Ⅰ）由已知条件可得BD?2,CD?2,CD?BD．????????????2分
∵平面ABD?平面BCD，平面ABD?平面BCD?BD． ∴CD?平面ABD．??????????????3分
又∵AB?平面ABD，∴CD?AB．??????????????4分
（Ⅱ）以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0)．
?2.?????????????????12
????????∴CD?(0,?2,0),AD?(?1,0,?1)．??????6分
设平面ACD的法向量为n?(x,y,z)，
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则CD?n,AD?n∴??y?0,
?x?z?0,令x?1，得平面ACD的一个法向量为n?(1,0,?1)，
??????n?MC∴点M到平面ACD的距离d???????2．?????????????????
2MC8分
（Ⅲ）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60?．????????9分
????????设BN??BC,0???1，则N(2?2?,2?,0)，
∴AN?(1?2?,2?,?1)，
又∵平面ACD的法向量n?(1,0,?1)且直线AN与平面ACD所成角为60，
??????????AN?n3，?????????????????11分 0∴sin60???????2AN?n可得8??2??1?0， ∴??211或???（舍去）． 42?综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60，此时13分 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）由已知条件可得AB?AD，AB?AD?BN1?．????BC42，∴S?ABD?1AB?AD?1． 2由（Ⅰ）知CD?平面ABD，即CD为三棱锥C-ABD的高，又CD=2， ∴VC?ABD?12CD?S?ABD?， 33又∵点M为线段BC中点，
∴ 点M到平面ACD的距离等于点Ｂ到平面ACD的距离的
1，??????????6分 2
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∴VM?ADC?111VB?ADC?VC?ABD?， 2231AD?DC?2， 2设点M到平面ACD的距离为d，则1d?S?ADC?1，即1?d?2?1
3333∵CD?AD，AD=2,CD=2，∴S?ACD?解得d=
分
（Ⅲ）同解法一． 解法三：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵点M为线段BC中点，
∴ 点M到平面ACD的距离等于点Ｂ到平面ACD的距离的6分
由已知条件可得AB?AD，由（Ⅰ）知AB?CD， 又AD?CD?D，∴ AB?平面ACD， ∴点Ｂ到平面ACD的距离等于线段AB的长． ∵22，∴设点M到平面ACD的距离等于.?????????????8221，????????????2AB?2，∴设点M到平面
ACD的距离等于
2?????????????????8分 2（Ⅲ）同解法一． 18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．
解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．??????????????4分
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
7.5?0.1?22.5?0.3?37.5?0.2?52.5?0.2?67.5?0.1?82.5?0.1?40.5（微克/立方
米）．???????6分
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