因为40.5?35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．?????????????????8分
（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则
P(A)?9.??????9分 10随机变量?的可能取值为0,1,2.且??B(2,9). 10所以P(??k)?C2(k9k9)(1?)2?k(k?0,1,2)，????????????????11分 1010所以变量?的分布列为 ? p 0 1 2 1 10018 10081 100????????????????12分
E??0?13分
118819?1??2??1.8（天）,或E??nP?2??1.8（天）. ????????1001001001019．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点P到两定点F,0),F2(?1,0)的距离之和为定值22， 1(1所以
点
P的轨迹是以
F1(1,0),F2(?1,0)为焦点的椭
圆．????????????????2分
又a?2，c?1，所以b?1，
x2?y2?1．????????????????4分 故所求方程为2（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)．
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由
?????????????OA?OB?OC?0 ，得
x1?x20?，x?y1?y2?y3?0．??????????5分
（ⅰ）可设直线AB的方程为y?kx?n(k?0)，
代入x2?2y2?2并整理得，(1?2k2)x2?4knx?2n2?2?0，
4kn2ny?y?k(x?x)?2n?，， 1212221?2k1?2k4kn2n1,?)k??从而可得点C的坐标为(，． OC1?2k21?2k22k1?kO?C?，所以直线AB与OC的斜率之积为定因为kAB2依题意，??0，则 x1?x2??值．???????????8分
?????????????22（ⅱ）若AB?x轴时，A(?1,),B(?1,?),由OA?OB?OC?0，
22得点C(2,0)，所以点C不在椭圆?上，不合题意． 因此直线AB的斜率存在．???????????9分
4k22kn?kC(,?)．由（ⅰ）可知，当直线AB过点F时, 有，点的坐标为 1221?2k1?2k16k48k2 代入x?2y?2得，??2，即4k2?1?2k2， 2222(1?2k)(1?2k)22所以k??2． ???????????11分 2122时，由（ⅰ）知，k?kOC??，从而kOC??．
222（1）当k?故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高
h?122122???，所求等腰三角形的面积S??1?．
248224122时，又由（ⅰ）知，k?kOC??，从而kOC?，
222（2）当k??
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同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为2． 82．???????8OC与x轴所围成的三角形的面积为 综合（1）（2），直线AB、
13分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)．
?????????????由OA?OB?OC?0得：x1?x2?x3?0，y1?y2?y3?0．?????????5分
（ⅰ）因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在椭圆上，所以有：x12?2y12?2，x22?2y22?2， 两式相减，得(x1?x2)(x1?x2)?2(y1?y2)(y1?y2)?0， 从而有
y1?y2y1?y21???．
x1?x2x1?x22y3， x3又y1?y2??y3，kOC?所以kA?Bk?O?C1，即直线AB与OC的斜率之积为定2值．????????????8分 （ⅱ）同解法一． 20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分. 解:(Ⅰ)g?x??cosx?3sinxcosx?211?cos2x31??sin2x? ?????2222??2分
13????cos2x?sin2x?sin?2x????????????3分 226???h?x??sinx,??????????4分
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f?x??msinx?1.??????????5分
(Ⅱ)方程f(x)?x有且只有一个实根. ??????????6分 理由如下：
由(Ⅰ)知f?x??msinx?1，令F?x??f?x??x?msinx?x?1, 因为F?0??1?0,又因为0?m?1?3????,所以F???m??1???0. 2222?2?所以F?x??0在?0,又因为F'?????至少有一个根. ??????????7分 2?1?0, 2?x??mcosx?1?m?1??所以函数F?x?在R上单调递减,
所以函数F?x?在R上有且只有一个零点，
即方程f?x??x有且只有一个实根. ??????????9分 (Ⅲ)因为a1?0,an?1?f?an??msinan?1,所以a2?1?a1,
又 a3?msin1?1，因为0?1??，所以0?sin1?1，所以a3?1?a2．
2由此猜测an?an?1(n?2),即数列?an?是单调递增数列. ??????????11分
以下用数学归纳法证明:n?N,且n?2时,an?an?1?0成立. (1)当n?2时,a2?1,a1?0,显然有a2?a1?0成立.
(2)假设n?k(k?2)时,命题成立，即ak?ak?1?0(k?2)．??????????12分
则n?k?1时,ak?1?f?ak??msinak?1，
11?，所以ak?f?ak?1??msinak?1?1?m?1??1?． 222?上单调递增，0?a?a??，
又sinx在0,k?1k22因为0?m???
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所以sinak?sinak?1?0，所以msinak?1?msinak?1?1， 即sinak?1?msinak?1?1?f(ak?1)?ak?0， 即n?k?1时,命题成立. ??????????13分 综合(1) ,(2)，n?N,且n?2时, an?an?1成立.
故数列?an?为单调递增数列. ??????????14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．
解：（Ⅰ）因为??所以???1?0m??1??1?m?????1??????1??， 1???????1?m??0???，即m=1．????????????????3分 ???????1???1??11??1?1?，所以M??1??0??1??．?????????????41?（Ⅱ）因为M???0?分
设曲线y2?x?y?0上任意一点(x,y)在矩阵M?1所对应的线性变换作用下的像是
(x?,y?).
由?所
?x???1?1??x??x?y??????????， ?????????????????5分 ??y??01??y??y?以?x??y?,??y?y?x得
?x?x??y?,??y?y?代入曲线
y2?x?y?0得
y?2?x?．?????????6分
由(x,y)的任意性可知,
2曲线y?x?y?0在矩阵M?1对应的线性变换作用下的曲线方程为
y2?x. ??????7分
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合
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思想．满分7分．
４2,解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(?4)得点M的直角坐标为(４,4)，
所以直线OM的直角坐标方程为y?x．????????????????3分
??x?1?2cos?,（Ⅱ）由曲线C的参数方程? (?为参数）??y?2sin?化为普通方程为(x?1)2?y2?2，???????????5分 圆心为A(1,0),，半径为r?2．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为
MA?r?5?2．????7分
（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲
本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．
解：（Ⅰ）由2a?b?9得9?b?2a，即|6?b|?2|a|． 所以9?b?a?3可化为3a?3，即a?1，解得?1?a?1． 所以a的取值范围?1?a?1．????????????????4分 （Ⅱ）因为a,b?0， 所以z?a2b?a?a?b?(a?a?b32a?b3)?()?33?27，?????????????6分 33当且仅当a?b?3时，等号成立． 故z的最大值为27．????????????????7分
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