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1233= (23334－13233)
31 334= (33435－23334)
31将这三个等式的两边分别相加，可以得到13+233 334=333435=20
3提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
（二）：【课前练习】
1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）
223
A．3x－2与 6x－4x B.3（a－b）与11（b－a） C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） A.x2?1?(x?1)(x?1) ;B.1?4y2?(1?2y)(1?2y)2222 C.81x?64y?(9x?8y)(9x?8y);D.(?2y)?x?(?2y?x)(2y?x)3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
A.9x2?49y2 B.?9x2?49y22222 C.9x?49y D.?(9x?49y)
22
4. 分解因式：x+2xy+y－4 =_____
读完这段材料，请你思考后回答：
⑴132+233+334+?+1003101=_________. ⑵132+233+334+?+n(n+1)=___________. ⑶13233+23334+??+n(n+1)(n+2)=______-. （只需写出结果，不必写中间的过程）
四：【课后小结】
5. 分解因式：（1）9n2???2；2a2???2
（2）x2?y2? ；（3）25x2?9y2? ； （4）(a?b)2?4(a?b)2；（5）以上三题用了 公式
二：【经典考题剖析】
初三数学总复习
因式分解
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从
而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；
3．分解因式的步骤：
（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区：
1. 分解因式：
32（1）x3y?xy3；（2）3x?18x?27x；（3）?x?1??x?1；（4）4?x?y??2?y?x?
223分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。 ②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意?a?b?2n??b?a?，?a?b?2n2n?1???b?a?2n?1
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。 2. 分解因式：
（1）x?3xy?10y；（2）2xy?2xy?12xy；（3）x?4223223?2?2?16x2
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。
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1??1??1??1??3. 计算：（1）?1?2??1?2?????1?2??1?2?
?2??3??9??10?（2）2002?2001?2000?1999?1998?????2?1 分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。
（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。 4. 分解因式：（1）4x2?4xy?y2?z2；（2）a?a?2b?2ab
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法， 5. （1）在实数范围内分解因式：x?4；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a?b?c?ab?bc?ac，
2224. 已知2?1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65
2224822225. 计算：199832002＝ ，27?46?27?23＝ 。 6. 若a?a?1?0，那么a2200122?a2000?a1999＝ 。
32227. m、n满足m?2?n?4?0，分解因式x?y??mxy?n?＝ 。
??8. 因式分解： （1）x?3x4?2?222?2?x2?3x??8；（2）a?b?2ab?2b?2a?1
2（3）?x?1??x?2??x?3??x?4??1；（4）1?a???1?b??4ab
2求证：△ABC为等边三角形。
分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a?b?c， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式?a?b?2??b?c?2??c?a?2?0， 即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：a?b?c?ab?bc?ac?0
222 2a?2b?2c?2ab?2bc?2ac?0
2229. 观察下列等式： 1?1
3321?2?3
32 1?2?3?6
1?2?3?4?10??
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。 10. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a?bc?b?ac，试判断△ABC的形状。阅
读下面解题过程：
解：由a?bc?b?ac得： a?b?ac?bc ①
22 a?b333233332222??????a?b?b?c?c?a?0
∴a?b?c
即△ABC为等边三角形。
422422三：【课后训练】
1. 若9x?mxy?16y是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
22422422442222A．24 B．12 C．±12 D．±24
2. 把多项式ab?1?a?b因式分解的结果是（ ）
A．?a?1??b?1? B．?a?1??b?1? C．?a?1??b?1? D．?a?1??b?1? 3. 如果二次三项式x?ax?1可分解为?x?2??x?b?，则a?b的值为（ ）
2???a22?b2??c2?a2?b2? ②
2 即a?b?c ③
∴△ABC为Rt△。 ④
试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代
号） ；错误原因是 ；本题
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2A．－1 B．1 C．－2 D．2
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的结论应为 。
四：【课后小结】
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做
分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。 2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的
值 ．即：
AA?MA?M??(其中M?0) BB?MB?M（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。
即：
?aaa?a????? b?bb?b初三数学总复习
分式
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一个分式
约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。
3.分式的运算：? 注意：为运算简便，运用分式 aba?b?同分母?????ccc的基本性质及分式的符号法 ?加减?acad?bc?则： ?异分母????bdbd? ①若分式的分子与分母的各项 ?acac??系数是分数或小数时，一般要化为整乘?????bdbd数。 分式运算?乘除?acadad??除 ②若分式的分子与分母的最高次项系??????bdbcbc?数是负数时，一般要化为正数。 ?n?乘方(a)n?a(n为整数) ?bbn ?? （1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母?的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算
（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ；
（3）分式乘方是____________________，公式_________________。
4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。 5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
（二）：【课前练习】 1. 判断对错：
①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a≠0时，分式
11＝0有意义（ ）； ④当a＝0时，分式＝0无意义（ ） aa13
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x?y12x212x2,x?13,,,,中，整式和分式的个数分别为（ ） 2. 在3x,0,323xx?y?乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把??x?2?当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或
整式。对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（4）题可以将?x?y看作一个整体??x?y?，然后用分配律进行计算；（5）题可采用逐步通分的方法，即先算
A．5，3 B．7，1 C．6，2 D．5，2 3. 若将分式
a?b (a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则 ab分式的值为（ ）
A．扩大为原来的2倍 ；B．缩小为原来的
112；C．不变；D．缩小为原来的14 1?x?11?x，用其结果再与2
1?x
2
相加，依次类推。 x25. 阅读下面题目的计算过程：
4.分式
9?x2?6x?9约分的结果是 。 x?32x?32?x?1?x2?1?1?x＝5. 分式
x?x?1??x?1???x?1??x?1? ① 4(x?y)(y?2),y6(y?x)(2?y),7(y?2)的最简公分母是 。
＝?x?3??2?x?1? ②
二：【经典考题剖析】
＝x?3?2x?2 ③ 1. 已知分式
x?5x2?4x?5,当x≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0．
＝?x?1 ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 2. 若分式x2?x?2 （2）错误原因是 。 x?1的值为0，则x的值为（ ）
（3）本题的正确结论是 。
A．x=－1或x=2 B、x=0 C．x=2 D．x=－1 三：【课后训练】
3.（1）3 先化简，再求值：(3xx?1?xx?1)x2?1 1. 当x取何值时，分式（1）
x，其中x?2?2. 2x?1；（2）3x?222x?1；（3）x?4有意义。
（2）先将
x2?2xx?1?(1?1x)化简，然后请你自选一个合理的x值，求原式的值。 2. 当x取何时，分式（1）
2x?33x?5；（2）x?3x?3的值为零。 xyzx?y?z3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。
（3）已知3?4?6?0，求x?y?z的值
（1）2n()ab?4.计算
m?2?3(m?2)2；（2）b2a?bab2?b?() （1）a2?41x2?2x?1?a?2??a?2??a?2；（2）x?2?x?2；（3）??1?x?4x?x?2???x2?2x 4. 若a?b?7;ab?12，则a2?b2ab＝ 。
（4）??2?2??x?y?x?y?????x?y；（5）11112x?3xy?2?3xx?y?3x??x1?x?1?x?21?x2?41?x4 5. 已知
x?y?3。则分式yx?2xy?y的值为 。 分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算
a26. 先化简代数式(?b2a?ba2?b2?a?b)?2ab(a?b)(a?b)2然后请你自取一组a、b的值代入求值． 学习改变命运，思考造就未来！
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7. 已知△ABC的三边为a，b，c，a2?b2?c2 =ab?bc?ac，试判定三角形的形状． 8. 计算：
3?x?5?12a2?a?1（1）1?(a?；（2）??x?2?)?2?
1?aa?2a?1x?2?x?2??1x1m?nmn?n2?mn?2? （3）2；（4）?2 ?2?22?x?4x?4x?42x?4m?n?n?1?m?2mn?n9. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：
111121 已知：方程x??1的解是x1=2,x2??； 方程x??2的解是x1=3,x2??；
x22x33131141 方程x??3的解是x1=4,x2??； 方程x??4的解是x1=5,x2??；
x44x55（1）方程：含有 的等式叫方程。
（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。 （3）无理方程：__________ 叫做无理方程。 （4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。 （5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。 （6）方程的解： 叫做方程的解。 （7）解方程： _叫做解方程。 （8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。 （9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________
②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项： 步骤 去分母 去括号 移项 合并 同 类项 系数 化 为1 合并同 类 项法则 具体做法 依据 等式性质 乘法分配 律、去括 号法则 移项法则 注意事项 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10 =1010. 阅读下面的解题过程，然后解题：
已知
10的解，并写出检验． 11xyz(a、b、c互相不相等)，求x+y+z的值 ??a?bb?cc?axyz=k, ??a?bb?cc?a 解：设
则x?k(a?b);y?k(b?c),z?k(c?a);于是x+y+z=k(a?b?b?c?c?a)?k?0?0
仿照上述方法解答下列问题：已知：
y?zz?xx?yx?y?z??(x?y?z?0),求的值。 xyzx?y?z四：【课后小结】
等式性质 初三数学总复习
一次方程
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
??整式方程 1.方程的分类 方程?有理方程?分式方程?? ??无理方程2.方程的有关概念
5. 二元一次方程组的解法．
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，
将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程
组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 6．整体思想解方程组．
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